Konjugovan kompleksan broj

Geometrijski prikaz (Argandov dijagram) broja $z$ i njegove konjugacije $\bar{z}$ u kompleksnoj ravni. Konjugovan kompleksan broj se pronalazi reflektovanjem broja $z$ preko realne ose.

U matematici, konjugovan kompleksan broj je broj kome je promijenjen znak imaginarnog dijela, tj. konjugat broja $z=a+ib$ gdje $a,b\in ℝ$ je broj $\overline{z}=a-ib$. Često se koristi i oznaka $\overline{z}$.

Primjer: $\overline{(3-2i)}=3+2i$, $\overline{i}=-i$ i $\overline{7}=7$.

Ako posmatramo kompleksni broj kao tačku u ravni, konjugat kompleksnog broja bio bi predstavljen njegovim odrazom od x-ose (pošto se na y-osi nalazi imaginarni dio).

Svojstva

Svojstva se odnose na sve kompleksne brojeve ako nije drugačije rečeno.

$\overline{(z+w)}=\overline{z}+\overline{w}$

$\overline{(zw)}=\overline{z}\overline{w}$

$\overline{\left(\frac{z}{w}\right)}=\frac{\overline{z}}{\overline{w}}$ ako je w različit od 0

$\overline{z}=z$ ako je z realan broj

$\left|\overline{z}\right|=\left|z\right|$

${\left|z\right|}^2=z\overline{z}$

$z^{-1}=\frac{\overline{z}}{{\left|z\right|}^2}$ ako je z različit od 0

Ako je $p$ polinom sa realnim koeficijentima, i ako je $p(z)=0$, tada je i $p(\overline{z})=0$, tj. korijeni polinoma sa realnim koeficijentima se pojavljuju kao konjugovani kompleksni brojevi ako nisu na realnoj pravoj.