Integro-diferencijalna jednačina

Integro-diferencijalna jednačina je jednačina koja uključuje i integrale i derivacije funkcije.

Opšta linearna integro-diferencijalna jednačina prvog reda ima oblik

$\frac{d}{dx}u(x)+\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}f(t,u(t))dt=g(x,u(x)),u(x_0)=u_0,x_0\ge 0.$

Kao što je tipično kod diferencijalnih jednačina, dobijanje rješenja zatvorenog oblika može često biti teško. U relativno malo slučajeva gdje se rješenje može naći, često se koristi neka vrsta integralne transformacije, gdje se problem prvo transformiše u algebarski. U takvim situacijama, rješenje problema može se dobiti primjenom inverzne transformacije na tu algebarsku jednačinu.

Primjer

Razmotrimo sljedeći problem prvog reda,

$u^{\prime }(x)+2u(x)+5\underset{0}{\overset{x}{\int }}u(t)dt=\{\begin{array}{c}1,x\ge 0\\ 0,x<0\end{array}\text{with}u(0)=0.$

Laplaceova transformacija je definisana preko,

$U(s)=ℒ\{u(x)\}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-sx}u(x)dx.$

Nakon Laplaceova transformacije član po član i korištenja pravila za derivaciju i integraciju, integro-diferencijalna jednačina se prebacuje u sljedeću algebarsku jednačinu,

$sU(s)-u(0)+2U(s)+\frac{5}{s}U(s)=\frac{1}{s}.$

Time je,

$U(s)=\frac{1}{s^2+2s+5}$.

Inverznom Laplaceovom transformacijom korištenjem metoda konturne integracije dobijamo

$u(x)=\frac{1}{2}{e}^{-x}\sin (2x)$.

Primjene

Integro-diferencijalne jednačine opisuju mnoge situacije iz nauke i inženjerstva. Posebna važna oblast primjene je kod analize električnih kola.

Aktivnost međudjelujućih inhibitorskih i ekscitacijskih neurona može se opisati sistemom integro-diferencijalnih jednačina (pogledajte kao primjer članak Wilson-Cowanov model).

Također pogledajte

• Diferencijalna jednačina
• Parcijalna diferencijalna jednačina
• Laplaceova transformacija
• Integrodiferentna jednačina

Vanjski linkovi

• Interactive Mathematics
• Numeričko rješenje primjera korištenjem Chebfuna

Reference

• Vangipuram Lakshmikantham, M. Rama Mohana Rao, “Theory of Integro-Differential Equations”, CRC Press, 1995