Integracija korištenjem parametarskih derivacija

Šablon:Nedostaju izvori U matematici, integracija korištenjem parametarskih derivacija je metod integracije određenih funkcija.

Pretpostavimo da želimo izračunati integral

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^2{e}^{-3x}dx.$

Ovaj integral se može riješiti tako što počnemo sa integralom:

$\begin{array}{cc}& \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-tx}dx={\left[\frac{e^{-tx}}{-t}\right]}_0^{\mathrm{\infty }}=\left(\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{e^{-tx}}{-t}\right)-\left(\frac{e^{-t0}}{-t}\right)\\ & =0-\left(\frac{1}{-t}\right)=\frac{1}{t}.\end{array}$

Sada znamo da je:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-tx}dx=\frac{1}{t}.$

Pretpostavimo da sada tražimo drugu derivaciju po t, a ne po x (to znači da ćemo x i dx smatrati konstantama):

$\frac{d^2}{d{t}^2}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-tx}dx=\frac{d^2}{d{t}^2}\frac{1}{t}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{d^2}{d{t}^2}{e}^{-tx}dx=\frac{d^2}{d{t}^2}\frac{1}{t}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{d}{dt}-x{e}^{-tx}dx=\frac{d}{dt}-\frac{1}{t^2}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^2{e}^{-tx}dx=\frac{2}{t^3}.$

Sada uočite da ovo rješenje ima isti oblik kao i zadana funkcija, čiji integral tražimo. U originalnom problemu, t = 3. Zamjenom toga u naše rješenje dobija se:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^2{e}^{-3x}dx=\frac{2}{3^3}=\frac{2}{27}.$

Također pogledajte

• Integracione tehnike
• Integral
• Derivacija