Green–Taova teorema

U teoriji brojeva, Green–Tao teorem, koji su dokazali Ben Green i Terence Tao 2004. godine, kaže da niz prostih brojeva sadrži proizvoljno duge aritmetičke progresije. Drugim riječima, za svaki prirodni broj $k$ postoji aritmetička progresija prostih brojeva sa $k$ članova. Dokaz je proširenje Szemerédijevog teorema. Problem se može pratiti do istraživanja Lagrangea i Waringa iz oko 1770.

Tvrdnja

Neka $\pi (N)$ označava broj prostih brojeva koji su manji ili jednaki $N$. Ako $A$ je podskup prostih brojeva tako da je

$\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{|A\cap [1,N]|}{\pi (N)}>0,$

onda za sve pozitivne cijele brojeve $k$, set $A$ sadrži beskonačno mnogo aritmetičkih progresija dužine $k$ . Konkretno, cijeli skup prostih brojeva sadrži proizvoljno duge aritmetičke progresije.

U svom kasnijem radu na generaliziranoj Hardy-Littlewood pretpostavci, Green i Tao su naveli i uslovno dokazali asimptotsku formulu

$({𝔖}_k+o(1))\frac{N^2}{(\log N{)}^k}$

za broj skupova prostih brojeva sa $k$ članova$p_1<p_2<\cdots <p_k\le N$ koji formiraju aritmetičku progresiju. Ovdje, ${𝔖}_k$ je konstanta

${𝔖}_k:=\frac{1}{2(k-1)}\left(\prod _{p\le k}\frac{1}{p}{\left(\frac{p}{p-1}\right)}^{k-1}\right)\left(\prod _{p>k}(1-\frac{k-1}{p}){\left(\frac{p}{p-1}\right)}^{k-1}\right).$

Rezultat su bezuslovnim učinili Green–Tao i Green–Tao–Ziegler.

Skica dokaza

Green i Taoov dokaz ima tri glavne komponente:

1. Szemerédijev teorem, koji tvrdi da podskupovi cijelih brojeva sa pozitivnom gornjom gustinom imaju proizvoljno duge aritmetičke progresije. To se <i id="mwOw">a priori</i> ne odnosi na proste brojeve jer prosti brojevi imaju gustinu nula u cijelim brojevima.
2. Princip transfera koji proširuje Szemerédijev teorem na podskupove cijelih brojeva koji su pseudoslučajni u odgovarajućem smislu. Takav rezultat se sada zove relativni Szemerédijeva teorem.
3. Pseudoslučajni podskup cijelih brojeva koji sadrži proste brojeve kao gust podskup. Da bi konstruirali ovaj skup, Green i Tao su koristili ideje iz Goldstona, Pintza i Yıldırımovog rada o razmaku između prostih brojeva. Jednom kada se uspostavi pseudoslučajnost skupa, može se primijeniti princip prijenosa, čime se dovršava dokaz.

Pronađena su brojna pojednostavljenja argumenta u originalnom radu. Šablon:Harvard citation text pružaju moderno izlaganje dokaza.

Numerički rad

Dokaz Green–Tao teorema ne pokazuje kako pronaći aritmetičke progresije prostih brojeva; samo dokazuje da postoje. Postojao je poseban računski rad za pronalaženje velikih aritmetičkih progresija u prostim brojevima.

Green–Tao dokument navodi "U vrijeme pisanja najduža poznata aritmetička progresija prostih brojeva je dužine 23, a pronašli su je 2004. Markus Frind, Paul Underwood i Paul Jobling: 56211383760397 + 44546738095860 · k ; k = 0, 1, . . ., 22.".

18. januara 2007. Jarosław Wróblewski je pronašao prvi poznati slučaj od 24 prostih broja u aritmetičkoj progresiji :

468,395,662,504,823 + 205,619 · 223,092,870 · n, za n = 0 do 23.

Konstanta 223,092,870 ovdje je proizvod prostih brojeva do 23, kompaktnije napisano kao 23#.

17. maja 2008. Wróblewski i Raanan Chermoni pronašli su prvi poznati slučaj od 25 prostih brojeva:

6,171,054,912,832,631 + 366,384 · 23# · n, za n = 0 do 24.

12. aprila 2010, Benoît Perichon sa softverom Wróblewskog i Geoffa Reynoldsa u distribuiranom PrimeGrid projektu pronašao je prvi poznati slučaj od 26 prostih brojeva :

43,142,746,595,714,191 + 23,681,770 · 23# · n, za n = 0 do 25

U septembru 2019. Rob Gahan i PrimeGrid su pronašli prvi poznati slučaj od 27 prostih brojeva Šablon:OEIS224,584,605,939,537,911 + 81,292,139 · 23# · n, za n = 0 do 26.

Proširenja i generalizacije

Mnoga proširenja Szemerédijevog teorema vrijede i za proste brojeve.

Nezavisno, Tao i Ziegler i Cook, Magyar i Titichetrakun su izveli multidimenzionalnu generalizaciju Green-Tao teoreme. Tao–Zieglerov dokaz su također pojednostavili Fox i Zhao.

Godine 2006. Tao i Ziegler su proširili Green-Tao teorem kako bi pokrili polinomske progresije. Preciznije, za bilo koji polinom s cijelobrojnim koeficijentima $P_1,...,P_k$ s jednom nepoznatom $m$ i slobodnim članom $0$, postoji beskonačno mnogo cijelih brojeva $x$ takvih da su$x+P_1(m),...,x+P_k(m)$ istovremeno prosti. Poseban slučaj kada su polinomi $m,2m,...,km$ implicira prethodni rezultat da postoji aritmetička progresija prostih brojeva dužine $k$.

Tao je dokazao analogon Green–Tao teorema za Gausove proste brojeve .

Također pogledajte

• Erdősova pretpostavka o aritmetičkim progresijama
• Dirichletov teorem o aritmetičkim progresijama
• Aritmetička kombinatorika

Dodatna literatura

• Šablon:Cite journal
• Šablon:Cite journal
• Šablon:Cite book
• Šablon:Cite journal
• Šablon:Cite journal
• Šablon:Cite journal
• Šablon:Cite journal
• Šablon:Cite web