Dirichletovi uvjeti

U matematici, Dirichletovi uvjeti su dovoljan uvjet za realnu periodičnu funkciju f(x) da bude jednaka sumi njenog Fourierovog reda u svakoj tački gdje je f neprekidno. Štaviše, ponašanje Fourierovog reda u tačkama prekida također se određuje. Ovi uvjeti dobili su naziv po matematičaru Johannu Peteru Dirichletu.

Uvjeti su sljedeći:

• f(x) mora imati konačan broj ekstrema u bilo kojem intervalu
• f(x) mora imati konačan broj prekida u bilo kojem intervalu
• f(x) mora biti apsolutno integrabilna unutar perioda.
• f(x) mora biti ograničena

Dirichletova teorema za jednodimenzionalne Fourierove redove

Iskazali smo Dirichletovu teoremu pretpostavljajući da je f periodična funkcija s periodom 2π sa proširenjem Fourierovog reda

$f(x)\sim \sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{e}^{inx}$,

gdje je

$a_n=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)e^{-inx}dx.$

Analogna tvrdnja stoji, bez obzira na to koji je period funkcije f ili koja je verzija proširenja Fourierovog reda izabrana (pogledajte članak: Fourierov red).

Dirichletova teorema: Ako f zadovoljava Dirichletove uvjete, tada za sve x imamo da je red, koji je dobijen uvrštavanjem x u Fourierov red, konvergentan te je dat sa

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{e}^{inx}=\frac{1}{2}(f(x+)+f(x-))$,

gdje oznake

$f(x+)=\underset{y\to x^{+}}{\lim }f(y)$

$f(x-)=\underset{y\to x^{-}}{\lim }f(y)$

predstavljaju desni/lijevi limes funkcije f.

Funkcija koja zadovoljava Dirichletove uvjete mora imati desni i lijevi limes u svakoj tački prekida ili funkcija mora oscilirati u toj tački, što je u suprotnosti s uvjetom o ekstremima. Primijetimo da je u svakoj tački, gdje je f neprekidna,

$f(x+)=f(x-)=f(x)$

tako da je

$\frac{1}{2}(f(x+)+f(x-))=f(x)$.

Prema tome, Dirichletova teorema kaže da Fourierov red za funkciju f konvergira i da je jednak f ako je funkcija f neprekidna.