Cotlar–Steinova lema

Šablon:Nedostaju izvori U matematici, u oblasti funkcionalne analize, Cotlar–Steinova lema skore ortogonalnosti, koja je naziv dobila po matematičarima Mischai Cotlaru i Eliasu Steinu. Može se koristiti za dobijanje informacija o operatorskoj normi operatora, koji djeluje iz jednog Hilbertovog prostora u drugi, kada se operator može razložiti u skoro ortogonalne dijelove.

Originalnu verziju ove leme (za samopridružene i međusobno komutativne operatore) dokazao je Mischa Cotlar 1955. godine, što ga je dovelo do zaključka da je Hilbertova transformacija neprekidni linearni operator u $L^{2}$ , bez korištenja Fourierove transformacije.

Cotlar–Steinova lema skore ortogonalnosti

Neka $E, F$ budu dva Hilbertova prostora. Razmotrimo familiju operatora $T_{j}$ , $j \in ℤ$ , gdje je svaki $T_{j}$ neprekidni linearni operator iz $E$ u $F$ .

Naznačimo

a_{j k} = ‖ T_{j} T_{k}^{*} ‖_{F \to F}, b_{j k} = ‖ T_{j}^{*} T_{k} ‖_{E \to E} .

Familija operatora $T_{j} : E \to F$ , $j \in ℤ,$ je skoro ortogonalna ako je

A = \max_{j} \sum_{k} \sqrt{a_{j k}} < \infty, B = \max_{j} \sum_{k} \sqrt{b_{j k}} < \infty .

Cotlar–Steinova lema kaže da ako je $T_{j}$ skoro ortogonalno, tada red $\sum_{j \in ℤ} T_{j}$ konvergira u topologiji jakog operatora, i da je

‖ \sum_{j \in ℤ} T_{j} ‖_{E \to F} \leq \sqrt{A B} .

Slijedi primjer ortogonalne familije operatora. Razmotrimo matrice beskonačnih dimenzija

T = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & ⋮ \\ 0 & 1 & 0 & ⋮ \\ 0 & 0 & 1 & ⋮ \\ \dots & \dots & \dots & ⋱ \end{matrix}]

i, također

T_{1} = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & ⋮ \\ \dots & \dots & \dots & ⋱ \end{matrix}], T_{2} = [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & ⋮ \\ 0 & 1 & 0 & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & ⋮ \\ \dots & \dots & \dots & ⋱ \end{matrix}], T_{3} = [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & ⋮ \\ 0 & 0 & 1 & ⋮ \\ \dots & \dots & \dots & ⋱ \end{matrix}], \dots .

Tada je $‖ T_{j} ‖ = 1$ za svako $j$ , odakle slijedi da red $\sum_{j \in ℕ} T_{j}$ ne konvergira u topologiji uniformnog operatora.

Ipak, pošto je $‖ T_{j} T_{k}^{*} ‖ = 0$ i $‖ T_{j}^{*} T_{k} ‖ = 0$ za $j \neq k$ , Cotlar–Steinova lema skore ortogonalnosti govori nam da

T = \sum_{j \in ℕ} T_{j}

konvergira u topologiji jakog operatora, te da je ograničen sa 1.

Mischa Cotlar, A combinatorial inequality and its application to $L^{2}$ spaces, Math. Cuyana 1 (1955), 41-55
Elias Stein, Harmonic Analysis: Real-variable Methods, Orthogonality and Oscillatory Integrals. Princeton University Press, 1993. Šablon:ISBN