Cassinijev oval

Cassinijev oval je kriva četvrtog reda, koja se može definirati kao geometrijsko mjesto tačaka koje zadovoljavaju uslov da je konstantan proizvod njihove razdaljine od dvije fiksne tačke. Kriva je imenovana prema astronomu Giovanniju Domenicu Cassiniju, koji ju je proučavao 1680. Cassini je pogrešno smatrao da ta kriva tačnije predstavlja kretanje Zemlje.

Definicija

Neka su $Q_1$ i $Q_2$ dvije fiksne tačke u ravni i neka je $a$ neka konstanta. Kasinijev oval sa fokusima $Q_1$ i $Q_2$ se definiše kao proizvod udaljenosti neke tačke $P$ od $Q_1$ i od $Q_2$ i pretpostavlja se da je $a^2$ tj:

$\mathrm{d}(Q_1,P)\times \mathrm{d}(Q_2,P)=a^2.$

Cassinijev oval u pravouglim koordinatama

Neka su fokusi u $F_1(-c,0)$ i $F_2(c,0)$. Uzmimo proizvoljnu tačku $M(x;y)$ i nađimo rastojanja od nje i pretpostavimo da je to konstanta $a^2$.

$d_1=\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}$

$d_2=\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}$

$d_1\cdot d_2=a^2$

$\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}\cdot \sqrt{(x-c{)}^2+y^2}=a^2$

$((x+c{)}^2+y^2)\cdot ((x-c{)}^2+y^2)=a^4$

$(x^2-c^2{)}^2+y^4+2y^2(x^2+c^2)=a^4$

$(x^2+y^2{)}^2-2c^2(x^2-y^2)=a^4-c^4$

U polarnim koordinatama

Mijenja se parametar $a$

Mijenja se parametar $c$

Pođemo li od oblika u pravougaonim koordinatama

$(x^2+y^2{)}^2-2c^2(x^2-y^2)=a^4-c^4$

zamjenom

$x=\rho \cos \phi ,y=\rho \sin \phi ,$ dobijamo

$({\rho }^2{\cos }^2\phi +{\rho }^2{\sin }^2\phi {)}^2-2c^2({\rho }^2{\cos }^2\phi -{\rho }^2{\sin }^2\phi )=a^4-c^4$

${\rho }^4-2c^2{\rho }^2(co{s}^2\phi -{\sin }^2\phi )=a^4-c^4$

(${\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =cos2\alpha$)

${\rho }^4-2c^2{\rho }^2\cos 2\phi =a^4-c^4$

Osobine

Jednačina Cassinijevog ovala ima dva nezavisna parametra;

$c$ polovina udaljenosti između dva fokusa i

$a$, čiji kvadrat predstavlja proizvod udaljenosti od bilo koje tačke do fokusa.

Međusobni odnos parametara određuje oblik Cassinijevog ovala, tako da postoji više različitih oblika u zavisnosti od kvocijenta dva parametra

• $\frac{c}{a}=\mathrm{\infty }$ kriva se pretvara u dvije tačke.
• $1<\frac{c}{a}<\mathrm{\infty }$ kriva se raspada na dva ovala, koji liče na dva jajeta
• $\frac{c}{a}=1$, тј. $a=c$, oval se tada pretvara u Bernulijevu lemniskatu
• $\frac{1}{\sqrt{2}}<\frac{c}{a}<1$, tj. $c<a<c\sqrt{2}$,nastaju 4 pregibne tačke
• $0<\frac{c}{a}⩽\frac{1}{\sqrt{2}}$, тј. $a⩾c\sqrt{2}$ kriva postaje oval
• $\frac{c}{a}=0$, тј. $c=0$ и $a\ne 0$ па крива постаје круг.
• Radijus zakrivljenosti u polarnim koordinatama je

$R=\frac{a^2\rho }{{\rho }^2+c^2\cos 2\phi }=\frac{2a^2{\rho }^3}{c^4-a^4+3{\rho }^4}$

Izvori

• Cassini Ovals
• Cassinian Ovals Šablon:Webarchive