Adjungovana matrica

Šablon:Nedostaju izvori U linearnoj algebri, adjungovana ili klasični pridodatak kvadratne matrice je matrica koji igra ulogu sličnu inverzu matrice; može se, međutim, definisati za svaku kvadratnu matricu bez potrebe da se obavlja bilo kakvo dijeljenje.

Definicija

Pretpostavimo da je R komutativni prsten i A je matrica dimenzije n×n sa vrijednostima iz R. Definicija adjungovane matrice od A je proces iz više koraka:

• Definišimo (i,j) minor od A, u oznaci M_ij, kao determinantu matrice dimnezije (n − 1)×(n − 1), koja rezultuje brisanjem reda i i kolone j od A.
• Definišimo (i,j) kofaktor matrice A kao

${𝐂}_{ij}=(-1{)}^{i+j}{𝐌}_{ij}.$

• Definišimo matricu kofaktora matriceA, kao matricu C, dimenzije n×n, čija je vrijednost (i,j) je (i,j) kofaktor matrice A.

adjungovana matrica matrice A je transponovana matrica matrice kofaktora matrice A:

$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀)={𝐂}^T$.

To jeste, adjungovana matrica matrice A je matrica dimenzije n×n čije su (i,j) vrijednosti (j,i) kofaktori matrice A:

$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀{)}_{ij}={𝐂}_{ji}$.

Primjeri

Svojstvena matrica dimenzije 2x2

Adjungovana matrica matrice dimenzije $2\times 2$

$𝐀=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$

je

$\mathrm{adj}(𝐀)=\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$.

Svojstvena matrica dimenzije 3x3

Razmotrimo matricu dimenzije $3\times 3$

$𝐀=\left(\begin{array}{ccc}{A}_{11}& A_{12}& A_{13}\\ A_{21}& A_{22}& A_{23}\\ A_{31}& A_{32}& A_{33}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)$.

Njena adjungovana matrica je

$\mathrm{adj}(𝐀)=\left(\begin{array}{ccc}+\left|\begin{array}{cc}5& 6\\ 8& 9\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}4& 6\\ 7& 9\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}4& 5\\ 7& 8\end{array}\right|\\ & & \\ -\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 8& 9\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 7& 9\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 7& 8\end{array}\right|\\ & & \\ +\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 5& 6\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 4& 6\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& 5\end{array}\right|\end{array}\right)$

gdje je

$\left|\begin{array}{cc}{A}_{im}& A_{in}\\ A_{jm}& A_{jn}\end{array}\right|=\det \left(\begin{array}{cc}{A}_{im}& A_{in}\\ A_{jm}& A_{jn}\end{array}\right)$.

Uočite da je adjungovana matrica transponovana matrica matrice kofaktora. Zbog toga, naprimjer, vrijednost (3,2) adjungovana matrice je kofaktor (2,3) matrice A.

Numerička matrica dimenzije 3x3

Kao specifični primjer imamo

$\mathrm{adj}\left(\begin{array}{ccc}-3& 2& -5\\ -1& 0& -2\\ 3& -4& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-8& 18& -4\\ -5& 12& -1\\ 4& -6& 2\end{array}\right)$.

−6 u trećem redu, drugoj koloni adjungovane matrice, izračunato je na sljedeći način:

$(-1{)}^{3+2}\det \left(\begin{array}{cc}-3& -5\\ -1& -2\end{array}\right)=-((-3)(-2)-(-5)(-1))=1$.

Ponovo, vrijednost (3,2) adjungovane matrice je kofaktor (2,3) matrice A. Zbog toga, podmatrica

$\left(\begin{array}{cc}-3& 2\\ 3& -4\end{array}\right)$

dobivena je brisanjem drugog reda i treće kolone originalne matrice A.

Primjene

Kao posljedica Laplaceove formule za determinantu matrice A dimenzije n×n, imamo

$𝐀\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀)=\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀)𝐀=\det (𝐀)𝐈(*)$

gdje je I jedinična matrica dimenzije n×n. Uistinu, vrijednost (i,i) proizvoda A adj(A) je skalarni proizvod reda i matrice A sa redom i matrice kofaktora C, koji je jednostavno Laplaceova formula za det(A) proširen sa redom i. Više, za i ≠ j, vrijednost (i,j) prooizvoda je skalarni proizvod reda i matrice A sa redom j matrice C, koji je Laplaceova formula fza determinantu matrice čiji su i i j redovi jednaki, i koja je zbog toga, jednaka nuli.

Iz ove formule slijedi jeda od najvažnijih rezultata u matričnoj algebri: Matrica A nad komutativnim prostenom R je inverzna ako i samo ako je det(A) inverzna u R.

Ako je A inverzna matrica, tada je

$1=\det (𝐈)=\det (𝐀{𝐀}^{-1})=\det (𝐀)\det ({𝐀}^{-1}),$

a ako je det(A) jedinica, tada (*) iznad pokazuje da je

${𝐀}^{-1}=\det (𝐀{)}^{-1}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀).$

Osobine

Adjungovana matrica ima osobine

$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐈)=𝐈$

$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀𝐁)=\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐁)\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀)$

za sve matrice A and B dimenzija n×n.

Adjungovana matrica zadržava transpoziciju:

$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}({𝐀}^T)=\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀{)}^T$.

Dalje, ako je $𝐀$ nesingularna, tada je

$\det (\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀))=\det (𝐀{)}^{n-1}$.

Ako je p(t) = det(A − tI) karakteristični polinom matrice A, te ako definišemo polinom q(t) = (p(0) − p(t))/t, tada je

$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀)=q(𝐀)=-(p_1𝐈+p_2𝐀+p_3{𝐀}^2+\cdots +p_n{𝐀}^{n-1})$,

gdje su $p_j$ koeficijenti od p(t),

$p(t)=p_0+p_{1}t+p_2{t}^2+\cdots p_n{t}^n.$

Adjungovana matrica također se pojavljuje u formuli derivacije determinante.

Reference

• Šablon:Cite book

Vanjski linkovi

• Matrix Reference Manual