Determinanta

U matematici determinanta $A\to detA$ je funkcija definisana na skupu svih kvadratnih matrica. Ona poprima vrijednosti iz skupa skalara. Osim oznake $detA$ za determinantu kvadratne matrice

$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]$

često se koristi i oznaka

$A=det\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$ Za fiksiran pozitivni cijel broj $n$, postoji jedinstvena funkcija determinante za $n\times n$ matrice nad bilo kojim komutativnim prstenom $R$. Specijalno, ova funkcija postoji kada je $R$ polje realnih ili kompleksnih brojeva.

Determinanta matrice definiše se induktivno, tj. determinanta matrice $n$ − tog reda definiše se pomoću determinante matrice $(n-1)$−og reda. Pođimo redom.

Definicija (Determinanta prvog reda)

Determinanta matrice $A=\left[\begin{array}{c}a\end{array}\right]$ je broj a

Definicija (Determinanta drugog reda)

Determinantom matrice

$A=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]$ zovemo broj $A=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$

• 
  Površina paralelograma je determinanta matrice koja se dobija od vektora koji predstavljaju stranice paralelograma

Interpretacija kada matrica ima elemente koji su realni brojevi je da daje orijentisanu površinu paralelograma sa vrhovima $(0,0)$, $(a,b)$, ($a+c,b+d)$, i $(c,d)$. (Za ovaj paralelogram kažemo da je razapet nad vektorima $(a,b)$ i $(c,d)$.) Orijentisana površina je ista kao i uobičajena površina, osim što je negativna kada se vrhovi poredaju u pravcu kazaljke na satu.

Primjer

Za $A=\left[\begin{array}{c}5\end{array}\right]=>detA=5$

Za $B=\left[\begin{array}{cc}-3& 3\\ 4& 5\end{array}\right]=>detB=-3*5-3*4=-5-12=-27$

Definicija (Determinanta trećeg reda)

Determinanta matrice $A=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]$ je broj $A=a_{11}\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|-a_{21}\left|\begin{array}{cc}{a}_{12}& a_{33}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|+a_{31}\left|\begin{array}{cc}{a}_{12}& a_{13}\\ a_{22}& a_{23}\end{array}\right|=$ $a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}-a_{12}{a}_{21}{a}_{33}-a_{11}{a}_{23}{a}_{32}-a_{13}{a}_{22}{a}_{31}$

Dobijen korištenjem Laplasovog razvoja po elementima prvog reda matrice.

Formula za determinantu formata $3\times 3$ se lako pamti primjenom „Sarusovog pravila“. Determinanta matrice formata $3\times 3$ jednaka je zbiru proizvoda elemenata tri dijagonalne linije koje vode od severozapada do jugoistoka, minus zbir proizvoda elemenata tri diagonalne linije koje vode od jugozapada do sjeveroistoka, kada se prve dve kolone matrice prepišu pored matrice kao što je pokazano:

$\begin{array}{ccccc}a& b& c& a& b\\ d& e& f& d& e\\ g& h& i& g& h\end{array}-\begin{array}{ccccc}a& b& c& a& b\\ d& e& f& d& e\\ g& h& i& g& h\end{array}$

Sarusovo pravilo je samo vizuelna pomoć za pamćenje formule, i ne važi za matrice većeg formata.

Definicija (Determinanta n-tog reda)

Determinanta matrice $A=det\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$ je broj

$A=a_{11}det{A}_{11}-a_{21}det{A}_{21}+...+(-1{)}^{n+1}{a}_{n1}det{A}_{n1}=$ $\sum _{k=1}^n(-1{)}^{k+1}{a}_{k1}{A}_{k1}$

Primjer

Izračunati determinantu

$\left|\begin{array}{cccc}1& 5& -2& 6\\ 0& 1& 2& 3\\ 0& 0& 1& 3\\ 0& -1& 1& 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 3\\ -1& 1& 1\end{array}\right|=1*\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& 1\end{array}\right|-0*\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 1\end{array}\right|-1*\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 3\end{array}\right|=-5$

Laplaceov razvoj determinante

Determinantu možemo računati tako da ju razvijemo po bilo kojem redu ili koloni. Za matricu $A$ reda $n$ imamo razvoje:

• po i- toj koloni : $detA=\sum _{k=1}^n(-1{)}^{k+i}{a}_{ki}{A}_{ki}$
• po i− tom redu: $detA=\sum _{k=1}^n(-1{)}^{k+i}{a}_{ik}{A}_{ik}$

Primjer

Pretpostavimo da želimo da izračunamo determinantu matrice

$A=\left[\begin{array}{ccc}-2& 2& -3\\ -1& 1& 3\\ 2& 0& -1\end{array}\right]$.

Direktno koristeći Lajbnicovu formulu

$\det (A)$	$=$	$((-2)\cdot 1\cdot (-1))+((-3)\cdot (-1)\cdot 0)+(2\cdot 3\cdot 2)$
		$-((-3)\cdot 1\cdot 2)-((-2)\cdot 3\cdot 0)-(2\cdot (-1)\cdot (-1))$
	$=$	$2+0+12-(-6)-0-2=18.$

Koristeći Laplasov razvoj duž vrste ili kolone. Najbolje je izabrati red ili kolonu sa što više nula. Biramo drugu kolonu:

$\det (A)$	$=$	$(-1{)}^{1+2}\cdot 2\cdot \det \left[\begin{array}{cc}-1& 3\\ 2& -1\end{array}\right]+(-1{)}^{2+2}\cdot 1\cdot \det \left[\begin{array}{cc}-2& -3\\ 2& -1\end{array}\right]$
	$=$	$(-2)\cdot ((-1)\cdot (-1)-2\cdot 3)+1\cdot ((-2)\cdot (-1)-2\cdot (-3))$
	$=$	$(-2)(-5)+8=18.$

Treći način i najpraktičniji za veće matrice koristeći Gausov algoritam.

$\left[\begin{array}{ccc}0& 2& -3\\ 0& 1& 3\\ 2& 0& -1\end{array}\right]$

Ova determinanta se može brzo razložiti po prvoj koloni:

$\det (A)$	$=$	$(-1{)}^{3+1}\cdot 2\cdot \det \left[\begin{array}{cc}2& -3\\ 1& 3\end{array}\right]$
	$=$	$2\cdot (2\cdot 3-1\cdot (-3))=2\cdot 9=18.$

Osobine determinante

• Determinanta je multiplikativno preslikavanje u smislu da

$det(AB)=det(A)det(B)$, za sve n-sa-n matrice $A$ i $B$

• $det(r{I}_n)=r^n$ i zato

$det(rA)=det(r{I}_n\cdot A)=r^{n}det(A)$, za svaku $n$-sa-$n$ matricu $A$ i za svaki skalar $r$

• Matrica nad komutativnim prstenom $R$ je invertibilna ako i samo ako je njena determinanta jedinica (odnosno invertibilan element) u $R$. Specijalno, ako je $A$ matrica nad poljem kao što su realni ili kompleksni brojevi, onda je A invertibilna ako i samo ako je $det(A)$ različita od nule. U ovom slučaju imamo

$\det (A^{-1})=\det (A{)}^{-1}$

• Determinante kompleksne matrice, i njoj konjugovano transponovane matrice su konjugovani kompleksni brojevi:$\det (A^{*})=\det (A{)}^{*}$
• Ako dvije kolone ili dva reda determinante zamjene mjesta, determinanta mijenja predznak
• Determinanta se množi skalarom tako da se samo jedna kolona pomnoži tim skalarom>
• Dodavanje proizvoda reda ili kolone drugoj vrsti ili koloni ne menja determinantu.
• Determinanta ne mijenja vrijednost ako nekoj koloni determinante dodamo linearnu kombinaciju preostalih kolona.
• Ako su $A$ i $B$ slične matrice, to jest, postoji invertibilna matrica $X$, takva da $A=X^{-1}BX$, onda po multiplikativnoj osobini

$\det (A)=\det (B)$

1. Ako je $A=(a_{ij}$ trouglasta matrica n-tog reda, onda je $detA=a_{11}{a}_{22}...a_{nn}$
2. Ako matrica $A$ ima dvije jednake kolone, onda je det $A=0$
3. Ako iščezavaju svi elementi neke kolone matrice $A$, onda je $detA=0$
4. Ako je neka kolona determinante linearna kombinacija preostalih kolona te determinante, onda je determinanta jednaka nuli.
5. Matrica $A$ je regularna onda i samo onda ako je $detA\ne 0$

Cramerovo pravilo

Najprije ćemo uvesti ovaj pojam posmatrajući sisten od dvije linearne jednačine s dvije nepoznate

$a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2=b_1$

$a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2=b_2$

ovaj sistem matrično zapisujemo sa

$Ax=b$ za

$A=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]$ i $b=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\end{array}\right]$

Sistem ćemo riješiti metodom suprotnih koeficienata. Množeći prvu jednačinu sistema brojem $a_{22}$, a drugu brojem $(-a_{12})$, nakon sabiranja dobijenih jednačina dobijamo

($a_{11}{a}_{22}-a_{21}{a}_{12})x_1=b_1{a}_{22}-b_2{a}_{12}$

što moženo zapisati

$\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|x_1=\left|\begin{array}{cc}{b}_1& a_{12}\\ b_2& a_{22}\end{array}\right|$ tj $D{x}_1=D_1$ za $D=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|$

Slično dobijamo

$D{x}_2=D_2$ gdje je

$D_2=\left|\begin{array}{cc}{a}_{12}& b_1\\ a_{22}& b_2\end{array}\right|$

Tj dobili smo sistem

$D{x}_1=D_1$

$D{x}_2=D_2$

Sada imamo

• ako je $D\ne 0$

$x_1=\frac{D_1}{D}$ i $x_2=\frac{D_2}{D}$ Za $D=0$ i $D_1=D_2=0$ sistem ima beskonačno mnogo rješenja

• Ako je $D=0$, i barem jedan od brojeva $D_1$ i $D_2$ je različit od 0(nule) sistem nema rješenja.

Navedene tvrdnje poznate su kao Cramerovo pravilo.

Izvod

Determinante realnih kvadratnih matrica su polinomijalne funkcije sa ${ℝ}^{n\times n}$ na $ℝ$, i kao takve su uvijek diferencijabilne. Njihov izvod se može izraziti pomoću Jakobijeve formule:

$d\det (A)=\mathrm{tr}(\mathrm{adj}(A)dA)$

gde $adj(A)$ označava adjungovanu matricu od A. Specijalno, ako je A invertibilna, imamo

$d\det (A)=\det (A)\mathrm{tr}(A^{-1}dA)$

ili,

$\det (A+X)-\det (A)\approx \det (A)\mathrm{tr}(A^{-1}X)$

ako su članovi matrice $X$ jako mali. Specijalan slučaj kada je $A$ jednaka jediničnoj matrici, $I$ dobija se

$\det (I+X)\approx 1+\mathrm{tr}(X)$.

Kao izvod po svakom posebnom elementu matrice, ove formule glase

$\frac{\partial \det (A)}{\partial A_{ij}}=\det (A)(A^{-1}{)}_{ij}$

Izvori

• Determinante Šablon:Webarchive
• Determinanta matrike
• Svojstva determinanti
• Determinant/ 7 February 2011
• Prepare for an algebra exam and master solving systems of linear equations with matrices
• Matrix calculator
• Math: Derivation of Matrix Determinant