Jednakostranični trougao

Jednakostraničan trougao je trougao u kojem su sve tri stranice jednake

malo

$AB=BC=AC=>a=b=c$

i sva tri ugla jednaka

$\alpha =\beta =\gamma =\frac{\pi }{3}=60^{\circ }$.

Presjek težišnih duži ($T$), presjek visina ($H$), simetrala stranica (centar opisane kružnice $O$), simetrala uglova (centar upisane kružnice $O$) sijeku se u jednoj tački.

Težišne duži su međusobno jednake.

$t_a=t_b=t_c$

Visine su međusobno jednake.

$h_a=h_b=h_c$

Težišne duži su podudarne visinama. Također, težišne duži su podudarne simetralama uglova i stranica.

$h\cong t$

Formule

Veličine izražene preko stranice tougla

1. površina $P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$
2. obim $O=3a$
3. poluprečnik opisane kružnice $R=\frac{a}{\sqrt{3}}$
4. poluprečnik upisane kružnice $r=\frac{\sqrt{3}}{6}a$ ili $r=\frac{R}{2}$
5. visina $h=\frac{\sqrt{3}}{2}a$.

Ove veličine možemo izraziti i preko visine

1. $P=\frac{h^2}{\sqrt{3}}$
2. $R=\frac{2h}{3}$
3. $r=\frac{h}{3}$

Visina

Visinu je moguće izračunati pomoću jedne od dvije formule:

$h=\frac{a\cdot \sqrt[]{3}}{2}$,

$P=\frac{h^2\cdot \sqrt[]{3}}{3}$ ⇒ $h=\sqrt[]{\frac{3P}{\sqrt[]{3}}}$

kada se racionališe i skrati dobija se

$h=\sqrt[]{\frac{3P\sqrt[]{3}}{3}}=\sqrt[]{P\sqrt[]{3}}$.

Glavne osobine

Neka je dat trougao $ABC$ čije su stranice $a$,$b$,$c$ poluobim $s$, poluprečnik opisane kružnice $R$ i poluprečnik upisane kružnice $r$

Trougao je jednakostraničan ako i samo ako je bilo koja od sljedečih izjava tačna.

Stranice

• $a=b=c$
• $a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca$
• $abc=(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)$
• $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{\sqrt{25Rr-2r^2}}{4Rr}$

Poluobim

• $s=2R+(3\sqrt{3}-4)r$
• $s^2=3r^2+12Rr$
• $s=3\sqrt{3}r$
• $s=\frac{3\sqrt{3}}{2}R$

Uglovi

• $\alpha =\beta =\gamma =\frac{\pi }{3}=60^{\circ }$.
• $\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =\frac{3}{2}$
• $\sin \frac{\alpha }{2}\sin \frac{\beta }{2}\sin \frac{\gamma }{2}=\frac{1}{8}$

Površina

• $P=\frac{a^2+b^2+c^2}{4\sqrt{3}}$
• $P=\frac{\sqrt{3}}{4}(abc{)}^{{}^{\frac{2}{3}}}$

Poluprečnik opisane i upisane kružnice

• $R=2r$
• $9R^2=a^2+b^2+c^2$
• $r=\frac{r_a+r_b+r_c}{9}$
• $r_a=r_b=r_c$

Jednake dužine Jednake dužine imaju težišnice, visine bisektrise.

$t_a=t_b=t_c=t$

$h_a=h_b=h_c=t$

Značajne tačke trougla Težište, ortocentar, centar opisanog i upisanog trougla se poklapaju.

Ovo su osobine koje su jedinstvene za jednakostraničan trougao.

Ostale osobine

$\frac{R}{r}=\frac{\frac{a}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}}{6}a}=\frac{6}{3}=2$

Odnos površine kružnice upisane u jednakostranični trougao i površine trougla je

$\frac{\frac{3a^2\pi }{36}}{\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}=\frac{12a^2\pi }{36a^2\sqrt{3}}=\frac{\pi }{3\sqrt{3}}$

Odnos površine trougla i kvadrata njegovog obima

$\frac{a^2\sqrt{3}}{36a^2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{36a^2}=\frac{1}{12\sqrt{3}}$

Ako su vrhovi $A_1$ $A_2$ $A_3$ trougla $A_1{A}_2{A}_3$ određeni su kompleksnim brojevima $z_1$, $z_2$, $z_3$ respektivno, tada su sljedeća tvrđenja ekvivalentna:

1. $A_1{A}_2{A}_3$ je jednakostraničan trougao
2. $\mid z_1-z_2\mid =\mid z_2-z_3\mid =\mid z_3-z_1\mid$
3. $z_1^2+z_2^2+z_3^2=z_1{z}_2+z_2{Z}_3+z_3{z}_1$
4. $\frac{z_2-z_1}{z_3-z_1}=\frac{z_3-z_2}{z_1-z_2}$
5. $\frac{1}{z-z_1}=\frac{1}{z-z_2}=\frac{1}{z-z_3}$ za $z=\frac{z-1+z_2+z_3}{3}$
6. $(z_1+ϵz_2+{ϵ}^2{z}_3)(z_1+{ϵ}^2{z}_2+ϵz_3)=0$ za $ϵ=cos\frac{2\pi }{3}+isin\frac{2\pi }{3}$
7. $\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ z_1& z_2& z_3\\ z_2& z_3& z_1\end{array}\right|=0$

Ako su $A1(a_1$), $A_2(a_2)$ i $A_3(a_3)$ vrhovi pozitivno orijentisanog trougla $A_1{A}_2{A}_3$, onda su sledeće tvrdnje ekvivalentne:

1. $A_1{A}_2{A}_3$ je jednakostraničan trougao;
2. $z_3-z_1=ϵ(z_2-z_1)$, gde je $ϵ=cos\frac{\pi }{3}+isin\frac{\pi }{3}$
3. $z_2-z_1=ϵ(z_3-z_1)$, gde je $ϵ=cos\frac{5\pi }{3}+isin\frac{5\pi }{3}$
4. $z_1+ϵz_2+{ϵ}^2{z}_3=0$

Za bilo koju tačku P u ravni trougla čije su udaljenosti $p$, $q$ i $t$ od vrhova $A$, $B$, i $C$, važi

$3(p^4+q^4+t^4+a^4)=(p^2+q^2+t^2+a^2{)}^2$

Za bilo koju tačku $P$ upisane kružnice jednakostraničnog trougla, sa udaljenostima $p$, $q$ i $t$ od vrhova važi

$4(p^2+q^2+t^2)=5a^2$

Konstrukcija

malo

Povučemo pravu Na njoj konstruišemo kružnicu čiji je prečnik jednak 2a. Presječna tačka kružnice i prave je centar druge kružnice prečnika 2a.

Dobijene tačke kao presjek te dvije kružnice i njihov presjek sa pravom su vrhovi trougla

II način

Povučemo pravu i konstruišemo kružnicu prečnika 2a čiji je centar na pravoj. presjek kružnice i prave je tačka koju uzmemo za centar kružnice istog prečnika.

Presjek te dvije kružnice su tačke čija udaljenost iznosi a. Sada lako dobijamo i treću tačku.

Izvođenje formule za površinu

malo

Formulu za površinu

$P=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$ lako možemo izvesti pomoću Pitagorine teoreme itrigonometrije.

Pomoću Pitagorine teoreme

$A=\frac{1}{2}ah.$

${\left(\frac{a}{2}\right)}^2+h^2=a^2$

$h=\frac{\sqrt{3}}{2}a.$

$P=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2.$

Pomoću trigonometrije

$P=\frac{1}{2}ab\sin C.$

$P=\frac{1}{2}ab\sin 60^{\circ }.$

$P=\frac{1}{2}ab\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}ab=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$

U kulturi i društvu

• Arheološko nalazište Lepenski Vir u Srbiji, iz doba neolita, sadrži ostatke staništa koja u svojoj osnovi imaju jednakostranični trougao.
• Davidova zvijezda, simbol jevrejskog naroda, sastoji se od dva obrnuta jednakostranična trougla. Uz ove trouglove se povezuju i izvjesna religiozna značenja.
• Mistični simbol Pitagorejaca, tetraktis, bio je oblika jednakostraničnog trougla.
• Na zastavi Filipina
• Oblik saobraćajnog znaka.

Izvor

1. Equilateral Triangle
2. NEW PROOF OF EULER’S INRADIUS - CIRCUMRADIUS INEQUALITY
3. Another Proof of the Erdos-Mordell Theorem Šablon:Webarchive
4. Equilateral Triangles and Kiepert Perspectorsin Complex Numbers Šablon:Webarchive
5. Non-Euclidean Versions of Some Classical Triangle Inequalities Šablon:Webarchive
6. AN ELEMENTARY PROOF OF BLUNDON’S INEQUALITY
7. Primene kompleksnih brojeva u geometriji 07.12.2011Šablon:Mrtav link