Jedinični krug

Koordinate na jediničnom krugu

Jedinični krug je definisan kao krug sa centrom u koordinatnom početku i poluprečnikom (radijusom) $r=1$ i čiji se centar u koordinatnom početku (0,0. Jedinični krug siječe x-osu u tačkama $(-1,0)$ i $(1,0)$ i y-osu u tačkama $(0,1)$ i $(0,-1)$.

Ortogonalna projekcija tačke $A(x,y)$ na x osu je $A_1(x,0)$, a na y- osu $A_2(0,y)$. Duži $O{A}_1$ i $O{A}_2$ su katete pravouglog trougla $O{A}_1{A}_2$ čije su dužine x i y.

$cos\theta$ je horizontalna a $sin\theta$ vertikalna dužina. Ugao $\theta$ je u standardnom položaju. Na osnovu definicije funkicje sinus i kosinus dobijamo sljedeće jednakosti:

$sin\theta =y/1=y$

$cos\theta =x/1=x$

$tg\theta =y/x$

Ako su (x, y) tačke na kružnici jediničnog kruga u prvom kvadrantu, onda su x i y katete pravouglog trougla (isječci na x i y osi, respektivno) čija je hipotenuza (poluprečnik) 1. Prema Pitagorinoj teoremi x i y zadovoljavaju jednačinu

$x^2+y^2=1$

Pošto je $x^2=(-x{)}^2$ prethodna jednačina važi za sve tačke (x, y) na jediničnom krugu, ne samo za prvi kvadrant.

Trigonometrijske funkcije

Trigonometrijske funkcije kod jediničnog kruga (Animacija)

Uz pomoć trigonometrijskih funkcija kod pravouglih trougla mogu se prikazati odnosi između koordinata i uglova na jediničnom krugu. Trigonometrijske funkcije sinus i kosinus mogu biti definisane na jediničnom krugu na sljedeći način. Ako je (x, y) tačka na jediničnom krugu i ako duž iz koordinatnog početka do tačke (x, y) čini ugao t sa pozitivnim dijelom x-ose (u smjeru suprotnim od smjera kazaljke na satu), tada važi:

$cos\theta =x$

$sin\theta =y$

Jednačina $x^2+y^2=1$ daje poznatu relaciju

$co{s}^2\theta +si{n}^2\theta =1$

	α	sin α	cos α	tg α	cotg α
1. kvadrant	0–90°	+	+	+	+
2. kvadrant	90–180°	+	−	−	−
3. kvadrant	180–270°	−	−	+	+
4. kvadrant	270–360°	−	+	−	−

Jedinični krug takođe daje uvid da su sinus i kosinus periodične funkcije jednakostima:

$\cos t=\cos (2k\pi +\theta )$

$\sin t=\sin (2k\pi +\theta )$

za svaki cijeli broj k.

Ove jednakosti polaze od činjenice da x i y koordinate tačke na krugu ostaju iste ako ugao t napravi bilo koji broj obrtaja (1 obrtaj = $2\pi$ radijana).

Kada se radi sa pravouglim trouglovima, sinus i kosinus, kao i ostale trigonometrijske funkcije imaju smisla samo ako je ugao veći od 0 i manji od $\pi /2$. Koristeći jedinični krug, ove funkcije dobijaju smisao za bilo koju realnu vrijednost ugla. Ako je tačka A tačka jediničnog kruga onda su njene koordinate

$A(0)=A(2\pi )=(1,0)$

$A(\pi /2)=(0,1)$

$A(\pi )=(-1,0)$

Druge tačke su određene koordinatama $(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2})$

Zamjenom $t=p/q$ dobijamo pitagorine trojke $(q^2-p^2,2pq,q^2+p^2)$.

Kompleksna ravan

U kompleksnoj ravni jedinični krug predstavljen je skupom $G\subset ℂ$

$G=\{z:\mathrm{R}\mathrm{e}\{z{\}}^2+\mathrm{I}\mathrm{m}\{z{\}}^2=1\}=\{z:z=e^{i\varphi },0\le \varphi <2\pi \}$

Također pogledajte

• Ugao

Izvori

Unit Circle

Jedinični krug