Binet–Cauchyjev identitet

U algebri, Binet–Cauchyjev identitet,^[1] koji je naziv dobio po Jacquesu Philippeu Marie Binetu i Augustinu Louisu Cauchyju, kaže da je

(\sum_{i = 1}^{n} a_{i} c_{i}) (\sum_{j = 1}^{n} b_{j} d_{j}) = (\sum_{i = 1}^{n} a_{i} d_{i}) (\sum_{j = 1}^{n} b_{j} c_{j}) + \sum_{1 \leq i < j \leq n} (a_{i} b_{j} - a_{j} b_{i}) (c_{i} d_{j} - c_{j} d_{i})

za svaki izbor realnih ili kompleksnih brojeva (ili općenitije, elemenata komutativnog prstena). Ako uzmemo da je a_i = c_i i b_i = d_i, dobijamo Lagrangeov identitet, koji je jača varijanta Cauchy-Schwarzove nejednakosti za Euklidov prostor $ℝ^{n}$ .

Binet–Cauchyjev identitet i vanjska algebra

Kada je n = 3, prvi i drugi član na desnoj strani postaju kvadratni intenziteti skalarnih i vektrskih proizvoda, respektivno; u n dimenzija ovi postoju intenziteti skalarnih i vanjskih proizvoda. To možemo zapisati kao

(a \cdot c) (b \cdot d) = (a \cdot d) (b \cdot c) + (a \land b) \cdot (c \land d)

gdje su a, b, c i d vektori. Također se može zapisati kao formula koja daje skalarni proizvod dva vanjska proizvoda

(a \land b) \cdot (c \land d) = (a \cdot c) (b \cdot d) - (a \cdot d) (b \cdot c) .

Dokaz

Proširenjem posljednjeg člana,

\sum_{1 \leq i < j \leq n} (a_{i} b_{j} - a_{j} b_{i}) (c_{i} d_{j} - c_{j} d_{i})

= \sum_{1 \leq i < j \leq n} (a_{i} c_{i} b_{j} d_{j} + a_{j} c_{j} b_{i} d_{i}) + \sum_{i = 1}^{n} a_{i} c_{i} b_{i} d_{i} - \sum_{1 \leq i < j \leq n} (a_{i} d_{i} b_{j} c_{j} + a_{j} d_{j} b_{i} c_{i}) - \sum_{i = 1}^{n} a_{i} d_{i} b_{i} c_{i}

gdje su drugi i četvrti član dodani kako bi kompletirali sumu, kao što slijedi:

= \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i} c_{i} b_{j} d_{j} - \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i} d_{i} b_{j} c_{j} .

Ovim je dokaz zavešen, nakon što se faktorišu članovi sa indeksom i.

Reference

Šablon:Refspisak

Vanjski linkovi

Šablon:Normativna kontrola

↑ Šablon:Cite web

[1] Šablon:Cite web

[1]

Binet–Cauchyjev identitet

Sadržaj