Nejednakost

Ovaj članak govori o nejednakostima u matematici. Za druga značenja, pogledajte članak nejednakost (čvor).

Za članak o nejednakim iskazima, pogledajte članak Nejednačina.

U matematici, nejednakost je iskaz o relativnoj veličini ili redu dva predmeta, ili o tome da li oni isti lil nisu (Također pogledajte: jednakost)

Oznaka a < b znači da je a manje od b.
Oznaka a > b znači da je a veće od b.
Oznaka a ≠ b znači da je a nije jednako sa b, ali ne govori da je jedno veće od drugog, ili čak da se mogu porediti po veličini.

U svim ovim slučajevima, a nije jednakosa b, pa imamo, "nejednakost".

Ove relacije se poznate kao stroge nejednakosti

Oznaka a ≤ b znači da je a manje ili jednako sa b (ili, ekvivalentno, ne veće od b);
Oznaka a ≥ b znači da je a veće ili jednako sa b (ili, ekvivalentno, ne manje od b);

Postoje i oznake kojim se govori da je jedna veličina mnogo veća od druge, najčešće za nekoliko redova veličine.

Oznaka a Šablon:Unicode b znači da je a mnogo manje od b.
Oznaka a Šablon:Unicode b znači da je a mnogo veće od b.

Ako je smisao nejednosti isti za sve vrijednosti varijabli za koje su članovi nejednakosti definisani, tada se nejednakost naziva "apsolutnom" ili "bezuslovnom" nejednakosšću. Ako smisao nejednakosti važi samo sa određene vrijednosti varijabli, ali je suprotna ili se poništava za druge vrijednosti tih varijabli, tada se to naziva "uslovna nejednakost".

Osobine

Nejednakostima se manipuliše slijedeći osobine. Zapamtite da je za osobine tranzitivnosti, preokreta, sabiranja, oduzimanja, množenja i dijeljenja, osobina, također, važi i kada se znak stroge nejednakosti () zamijeni sa njihovoim odgovarajućim nestogim znakovima nejednakosti (≤ i ≥).

Trihotomija

Osobina trihotomije kaže da je:

Za sve realne brojeve, a i b, tačno jedno, od slijedećeg, je tačno:
- a b

Tranzitivnost

Tranzitivnost nejednakosti kaže da je:

Za sve realne brojeve, a, b, c:
- Ako je a > b i b > c; tada je a > c
- Ako je a b i b = c; tada je a > c
- Ako je a < b i b = c; tada je a < c

Sabiranje i oduzimanje

Osobine vezane za sabiranje i oduzimanje kažu da je:

Za sve realne brojeve, a, b, c:
- Ako je a < b, tada je a + c b, tada je a + c > b + c i a − c > b − c

Množenje i dijeljenje

Osobine vezane za množenje i dijeljenje kažu da je:

Za sve realne brojeve, a, b, c:
- Ako je c pozitivan i a < b, tada je ac < bc
- Ako je c negativan i a < b, tada je ac > bc

Inverz sabiranja

Osobine za inverz sabiranja kažu da je:

Za sve realne brojeve a i b
- Ako je a < b, tada je −a > −b
- Ako je a > b, tada je −a < −b

Inverz množenja

Osobine za inverz množenja kažu da je:

Za sve realne brojeve a i b, koji su ili oba pozitivni ili oba negativni
- Ako je a < b, tada je 1/a > 1/b
- Ako je a > b, tada je 1/a < 1/b

Nejednakosti između srednjih vrijednosti

Postoji mnogo nejednakosti između srednjih vrijednosti. Na primjer, za bilo koje pozitivne brojeve a₁, a₂, …, a_n, imamo da je H ≤ G ≤ A ≤ Q, gdje je

$H = \frac{n}{1 / a_{1} + 1 / a_{2} + \dots + 1 / a_{n}}$	(harmonijska sredina),
$G = \sqrt[n]{a_{1} \cdot a_{2} \dots a_{n}}$	(geometrijska sredina),
$A = \frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}{n}$	(aritmetička sredina),
$Q = \sqrt{\frac{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{n}^{2}}{n}}$	(kvadratna sredina).

Nejednakost između aritmetičke i geometrijske sredine

Nejednakost između aritmetičke i geometrijske sredine, ili kraće AG nejednakost, svakako je jedna od najpoznatijih algebarskih nejednakosti. Radi se o uporedbi aritmetičke sredine

$A n (a, w) = \frac{w_{1} a_{1} + . . . + w_{n} a_{n}}{w_{1} + . . . + w_{n}}$

i geometrijske sredine

$G n (a, w) = (a_{1} w_{1} a_{2} w_{2} . . . a_{n} w_{n})^{1 / W_{n}}$

za $a = (a_{1}, . . ., a_{n})$ i $w = (w_{1}, . . ., w_{n})$ uređene n-torke pozitivnih brojeva i $W_{n} = w_{1} + . . . + w_{n}$ .

Teorem (AG nejednakost)

Ako su a i w uređene n-torke pozitivnih brojeva, tada vrijedi $A_{n} (a, w) \geq G_{n} (a, w)$ . Jednakost se postiže ako i samo ako je $a_{1} = a_{2} = . . . = a_{n}$ .

Teorem (AG nejednakost za tri pozitivna broja).

Neka su a, b, c pozitivni realni brojevi. Tada vrijedi

$\frac{a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{a b c}$

Nejednakosti između geometrijske i harmonijske sredine

Neka je a bilo koja n-torka pozitivnih realnih brojeva. Tada je

$G_{n} (a) \geq H_{n} (a)$ Dokaz

$\sqrt[n]{a_{1} a_{2} . . . a_{n}} \geq \frac{n}{\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + . . . + \frac{1}{a_{n}}}$

Primjenom aritmetičko geometrijske nejednakosti na brojeve $\frac{1}{a_{1}}$ , $\frac{1}{a_{2}}$ ... $\frac{1}{a_{n}}$ dobijamo

$\sqrt[n]{\frac{1}{a_{1}} \frac{1}{a_{2}} . . . \frac{1}{a_{n}}} \leq \frac{\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + . . . + \frac{1}{a_{n}}}{n}$

$\sqrt[n]{(a_{1} a_{2} . . . a_{n})^{- 1}} \leq \frac{\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + . . . + \frac{1}{a_{n}}}{n}$

$\sqrt[n]{(a_{1} a_{2} . . . a_{n})^{- 1}} \leq (\frac{n}{\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + . . . + \frac{1}{a_{n}}})^{- 1}$

$(a_{1} a_{2} . . . a_{n})^{1 / n} \geq \frac{n}{\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + . . . + \frac{1}{a_{n}}}$

Jednakost vrijedi ako i samo ako je $\frac{1}{a_{1}} = . . . = \frac{1}{a_{n}}$

Nejednakost između aritmetičke i kvadratne sredine

Neka je a bilo koja n -torka pozitivnih realnih brojeva. Tada je

$A_{n} (a) \leq K_{n} (a)$

Dokaz

$(a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n})^{2} = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + . . + a_{n}^{2} + 2 a - 1 a - 2 + 2 a_{2} a_{3} + . . . + a_{n - 1} a_{n}$

znamo

$a_{1}^{2} + a_{2}^{2} \geq 2 a_{1} a_{2}$ za $\forall a_{1}, a_{2} \in R$

$(a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n})^{2} \leq (a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + . . + a_{n}^{2}) + (a_{1}^{2} + a_{2}^{2}) + . . + (a_{n - 1}^{2} + a_{n}^{2}) \leq n (a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + . . + a_{n}^{2})$

Izrazi na obe strane su pozitivni, dobijenu nejednakost možemo korjenovati čime dolazimo do

$a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n} \leq \sqrt{n (a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + . . + a_{n}^{2})}$

$\frac{a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n}}{n} \leq \sqrt{\frac{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + . . + a_{n}^{2})}{n}}$

Jednakost vrijedi ako i samo ako je $a_{1} = a_{2} = . . . = a_{n}$

Nejednakosti stepena

Ponekad sa oznakom "stepena nejednakost" podrazumjevamo jednakosti koje sadrže izraz tipa a^b, gdje su a i b realni pozitivni brojevi ili izrazi nekih varijabli.

Primjeri

Ako je x > 0, tada je

x^{x} \geq {(\frac{1}{e})}^{1 / e} .

Ako je x > 0, tada je

x^{x^{x}} \geq x .

Ako je x, y, z > 0, tada je

(x + y)^{z} + (x + z)^{y} + (y + z)^{x} > 2 .

Za bilo koja dva različita broj a i b,

\frac{e^{b} - e^{a}}{b - a} > e^{(a + b) / 2} .

Ako je x, y > 0 i 0 < p < 1, tada je

(x + y)^{p} < x^{p} + y^{p} .

Ako je x, y, z > 0, tada je

x^{x} y^{y} z^{z} \geq (x y z)^{(x + y + z) / 3} .

Ako je a, b > 0, tada je

a^{e a} + b^{e b} \geq a^{e b} + b^{e a} .

Ako je a, b > 0, tada je

a^{b} + b^{a} > 1 .

Ovaj rezultat uopćio je R. Ozols 2002. godine, kada je dokazato da ako je a₁, ..., a_n, tada je

a_{1}^{a_{2}} + a_{2}^{a_{3}} + \dots + a_{n}^{a_{1}} > 1

(rezultat je objevljen u latvijskom naučnom časopisu Zvjezdano nebo; pogledajte reference).

Dobro poznate nejednakosti

Šablon:Glavni

Matematičari često koriste nejednakosti da ograniče veličine za koje se tačne formule ne mogu izračunati lahko. Neke nejednakosti se koriste tako često, da čak imaju svoje nazive:

Također pogledajte

Binarna relacija
Zagrada za upotrebu znakova kao zagrada
Fourier-Motzkinova eliminacija
Nejednačina
Interval (matematika)
Djelimično uređen skup
Operator relacije, koristi se u programskim jezicima kako bi se označila nejednakost

Reference

Vanjski linkovi

interaktivne linearne nejednakosti i grfikoni na www.mathwarehouse.com
Solving Nejednakosti
WebGraphing.com – kalkulator za crtanje grafika nejednakosti.
Grafik nejednakosti od Ed Pegg, Jr., Wolfram Demonstrations Project.
http://e.math.hr/agnejednakost/index.html
NEJEDNAKOSTI IZMEĐU OSNOVNIH SREDINA

Nejednakost

Sadržaj

Osobine

Trihotomija

Tranzitivnost

Sabiranje i oduzimanje

Množenje i dijeljenje

Inverz sabiranja

Inverz množenja

Nejednakosti između srednjih vrijednosti

Nejednakost između aritmetičke i geometrijske sredine

Nejednakosti između geometrijske i harmonijske sredine

Nejednakost između aritmetičke i kvadratne sredine

Nejednakosti stepena

Primjeri

Dobro poznate nejednakosti

Također pogledajte

Reference

Vanjski linkovi

Navigacija

Nejednakost

Osobine

Trihotomija

Tranzitivnost

Sabiranje i oduzimanje

Množenje i dijeljenje

Inverz sabiranja

Inverz množenja

Nejednakosti između srednjih vrijednosti

Nejednakost između aritmetičke i geometrijske sredine

Nejednakosti između geometrijske i harmonijske sredine

Nejednakost između aritmetičke i kvadratne sredine

Nejednakosti stepena

Primjeri

Dobro poznate nejednakosti

Također pogledajte

Reference

Vanjski linkovi

Navigacija

Pretraga