Gudermannova funkcija

Gudermannova funkcija sa njenim asimptotama y=±π/2 (plava boja).

Gudermannianova funkcija, nazvana po Christophu Gudermannu (1798. – 1852. godina), povezuje kružne i hiperboličke funkcije bez korištenja kompleksnih brojeva.

Definisana je sa

$\begin{array}{cc}\mathrm{g}\mathrm{d}(x)& =\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dp}{\cosh (p)}\\ & =\arcsin (\tanh (x))=\text{arccsc}(\coth (x))\\ & =\arccos (\text{sech}(x))=\text{arcsec}(\cosh (x))\\ & =\arctan (\sinh (x))=\text{arccot}(\text{csch}(x))\\ & =2\arctan (\tanh \left(\frac{x}{2}\right))=2\arctan (e^x)-\frac{\pi }{2}.\end{array}$

Sljedeći identiteti, također, važe:

$\begin{array}{cc}\dot{\sin (\text{gd}(x))}& =\tanh (x);\csc (\text{gd}(x))=\coth (x);\\ \cos (\text{gd}(x))& =\text{sech}(x);\sec (\text{gd}(x))=\cosh (x);\\ \tan (\text{gd}(x))& =\sinh (x);\cot (\text{gd}(x))=\text{csch}(x);\\ {}_{.}\tan \left(\frac{\text{gd}(x)}{2}\right)& =\tanh \left(\frac{x}{2}\right).\end{array}$

Inverzna Gudermannova funkcija.

Inverzna Gudermannova funkcija je data sa

$\begin{array}{cc}\text{arcgd}(x)& ={\mathrm{g}\mathrm{d}}^{-1}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dp}{\cos (p)}\\ & =\text{arccosh}(\sec (x))=\text{arctanh}(\sin (x))\\ & =\ln (\sec (x)(1+\sin (x)))\\ & =\ln (\tan (x)+\sec (x))=\ln \tan (\frac{\pi }{4}+\frac{x}{2})\\ & =\frac{1}{2}\ln \frac{1+\sin (x)}{1-\sin (x)}.\end{array}$

Derivacije Gudermannove funkcije i njenih inverzna su

$\frac{d}{dx}\text{gd}(x)=\text{sech}(x);\frac{d}{dx}\text{arcgd}(x)=\sec (x).$

Također pogledajte

• Distribucija hiperboličke sekante
• Mercatorova projekcija
• Formula tangensa polovine ugla
• Traktrisa
• Spisak trigonometrijskih identiteta

Vanjski linkovi

• CRC Handbook of Mathematical Sciences 5th ed. pp 323–5.
• Šablon:MathWorld