Eulerova formula

Ovaj članak govori o Eulerovoj formuli u kompleksnoj analizi. Za članak o Eulerovoj formuli u altebarskoj topologiji i poliedričnoj kombinatorici, pogledajte Eulerova karakteristika. Također pogledajte teme nazvane po Euleru.

Eulerova formula, koja je dobila naziv po Leonhardu Euleru, je matematička formula u kompleksnoj analizi koja pokazuju duboku povezanost između trigonometrijskih funkcija i kompleksne eksponencijalne funkcije. Eulerova formula iskazuje da je, za svaki realan broj x,

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

gdje je e baza prirodnog logaritma, i je imaginarna jedinica, a cos i sin su trigonometrijske funkcije kosinus i sinus, sa argumentom x dat u radijanima (rijetko u stepenima. Formula vrijedi i kada je x kompleksan broj.

Richard Feynman nazvao je Eulerovu formulu "našim draguljem" i "najizvanrednojom formulom u matematici".

Istorija

Bernoulli je oko 1702. godine zapisao

$\frac{dx}{1+x^2}=\frac{1}{2}(\frac{dx}{1-ix}+\frac{dx}{1+ix})$. i

$\int \frac{dx}{1+x}=\ln (1+x),$

Navedene jednakosti daju nam uvid u pojam kompleksnih logaritmima. Bernoulli, međutim, nije ocijenio cjelinu. Njegovo dopisivanje s Eulerom (koji je također poznavao jednakost) pokazuje da nije naslutio dubinu matematičke pozadine. U međuvremenu je Roger Cotes 1714. godine otkrio da je

$\ln (\cos x+i\sin x)=ix$

On nije uočio činjenicu da kompleksni logaritmi mogu imati beskonačno mnogo vrijednosti i to posljedično periodičnosti trigonometrijskih funkcija. Oko 1740. Euler je obratio pažnju na eksponencijalne funkcije umjesto logaritamskih i izveo formulu koja je nazvana njemu u čast. Formula

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

je objavljena 1748. godine i Eulerov dokaz formule je zasnovan na jednakosti beskonačnih redova obje strane izvoda.U to doba niko nije uočio geometrijsku interpretaciju formule, kao pogled na kompleksne brojeve predstavljene u kompleksnoj ravni. Tu vezu je ustanovio Caspar Wessel pedesetak godina kasnije.

Primjene u teoriji kompleksnih brojeva

Eulerova formula može se predstaviti na način da funkcija $e^{ix}$ rotira oko koordinantnog početka kompleksne ravni pri čemu x prima vrijednosti iz domene realnih brojeva. U tom smislu $x$ je ugao što između duži, koja spaja koordinantni početak kompleksne ravnii s odgovarajućom točkom na jediničnoj kružnici, i pozitivne realne ose. Pri tome duž( vektor u kompleksnoj ravnini), rotira smjerom suprotno od smjera kazaljki na satu, a veličina ugla ourađava se u radijanima. Izvorni dokaz se zasniva na razvoju Taylorovih redova za eksponencijalnu funkciju $e^z$ i periodičnih funkcija $sinx$ i $cosx$, gdje je $z$ kompleksni broj, a $x$ realan broj. Isti dokaz pokazuje da formula vrijedi i za $x$ bilo koji kompleksan broj.

Eulerova formula omogućava prelaz iz prikaza kompleksnog broja u kartezijevim koordinatama u prikaz u polarnim koordinatama. Iskaz kompleksnog broja u polarnim koordinatama pojednostavljuje složenije operacije s kompleksnim brojevima kao što su, množenje i stepenovanje, a iz razloga što se bilo koji kompleksan broj $z=x+iy$ može zapisati kao

$z=x+iy=|z|(\cos \varphi +i\sin \varphi )=|z|e^{i\varphi }$

$\overline{z}=x-iy=|z|(\cos \varphi -i\sin \varphi )=|z|e^{-i\varphi }$

gdje je

$x=\mathrm{R}\mathrm{e}\{z\}$ realni dio

$y=\mathrm{I}\mathrm{m}\{z\}$ imaginarni dio

$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$ apsolutna vrijednost ili veličina od $z$

$\varphi =$ $arctan(y,x$) zadan u radijanima.

$a=e^{\ln (a)}$

$e^a{e}^b=e^{a+b}$

$z=|z|e^{i\varphi }=e^{\ln |z|}{e}^{i\varphi }=e^{\ln |z|+i\varphi }$

$\ln z=\ln |z|+i\varphi .$

$(e^a{)}^k=e^{ak},$

Veza sa trigonometrijom

Eulerova formula je veza između analize i trigonometrija, i daje tumačenje sinus i kosinus funkcija preko eksponencijalne funkcije

$\begin{array}{cc}\cos x& =\mathrm{R}\mathrm{e}\{e^{ix}\}=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\\ \sin x& =\mathrm{I}\mathrm{m}\{e^{ix}\}=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\end{array}$

Izvode se sabiranjem ili Eulerove formule

$\begin{array}{cc}{e}^{ix}& =\cos x+i\sin x\\ e^{-ix}& =\cos (-x)+i\sin (-x)=\cos x-i\sin x\end{array}$

rješavanjem po sin ili cos funkciji.

Ove formule mogu poslužiti kao definicije trigonometrijskih funkcija kompleksnog argumenta x.

Za $x=iy$ imamo

$\begin{array}{cc}\cos (iy)& =\frac{e^{-y}+e^y}{2}=\cosh (y)\\ \sin (iy)& =\frac{e^{-y}-e^y}{2i}=-\frac{e^y-e^{-y}}{2i}=i\sinh (y).\end{array}$

Kompleksne eksponencijalne funkcije znatno pojednostavljuju trigonometriju jer je daleko lakše računati s njima nego sa sinusnim, odn. kosinusnim ekvivalentima. Jedan od načina je da se prikaz periodične funkcije jednostavno prikaže pomoću eksponencijalne funkcije.

Primjer

$\begin{array}{cc}\cos x\cdot \cos y& =\frac{(e^{ix}+e^{-ix})}{2}\cdot \frac{(e^{iy}+e^{-iy})}{2}\\ & =\frac{1}{2}\cdot \frac{e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y)}}{2}\\ & =\frac{1}{2}[\underset{\cos (x+y)}{\underbrace{\frac{e^{i(x+y)}+e^{-i(x+y)}}{2}}}+\underset{\cos (x-y)}{\underbrace{\frac{e^{i(x-y)}+e^{-i(x-y)}}{2}}}]\end{array}$

$\begin{array}{cc}\cos (nx)& =\mathrm{R}\mathrm{e}\{e^{inx}\}=\mathrm{R}\mathrm{e}\{e^{i(n-1)x}\cdot e^{ix}\}\\ & =\mathrm{R}\mathrm{e}\{e^{i(n-1)x}\cdot (\underset{2\cos (x)}{\underbrace{e^{ix}+e^{-ix}}}-e^{-ix})\}\\ & =\mathrm{R}\mathrm{e}\{e^{i(n-1)x}\cdot 2\cos (x)-e^{i(n-2)x}\}\\ & =\cos [(n-1)x]\cdot 2\cos (x)-\cos [(n-2)x]\end{array}$

Preko redova

$e^z=1+\frac{z}{1!}+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n!}.$

Preko limesa

$e^z=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{z}{n})}^n.$

Dokazi

$\begin{array}{cccccccc}{i}^0& =1,& i^1& =i,& i^2& =-1,& i^3& =-i,\\ i^4& =1,& i^5& =i,& i^6& =-1,& i^7& =-i,\end{array}$

$\begin{array}{cc}{e}^{ix}& =1+ix+\frac{(ix{)}^2}{2!}+\frac{(ix{)}^3}{3!}+\frac{(ix{)}^4}{4!}+\frac{(ix{)}^5}{5!}+\frac{(ix{)}^6}{6!}+\frac{(ix{)}^7}{7!}+\frac{(ix{)}^8}{8!}+\cdots \\ & =1+ix-\frac{x^2}{2!}-\frac{i{x}^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{i{x}^5}{5!}-\frac{x^6}{6!}-\frac{i{x}^7}{7!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots \\ & =(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}-\cdots )+i(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots )\\ & =\cos x+i\sin x.\end{array}$

Također pogledajte

• Animacija o Eulerovoj formuli
• Eulerov identitet
• Kompleksan broj
• de Moivreova formula
• Eksponencijacija
• Eksponencijalna funkcija

Vanjski linkovi

• Proof of Euler's Formula by Julius O. Smith III
• Euler's Formula and Fermat's Last Theorem
• Complex Exponential Function Module by John H. Mathews
• Elements of Algebra
• Visual Representation of Euler's Formula