Trougaona funkcija

Trougaona funkcija

Trougaona funkcija (poznata i pod nazivima funkcija trougla, kapasta funkcija ili šatorska funkcija) je definisana ili kao:

$\begin{array}{cc}\mathrm{tri}(t)=\wedge (t)& \stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\max (1-|t|,0)\\ & =\{\begin{array}{cc}1-|t|,& |t|<1\\ 0,& \text{otherwise}\end{array}\end{array}$

ili, ekvivalentno, kao konvolucija dvije identične jedinične pravougaone funkcije:

$\begin{array}{cc}\mathrm{tri}(t)=\mathrm{rect}(t)*\mathrm{rect}(t)& \stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(\tau )\cdot \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(t-\tau )d\tau \\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(\tau )\cdot \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(\tau -t)d\tau .\end{array}$

Funkcija je korisna u procesiranju signala i inženjerstvu komunikacionih sistema kao predstavnik idealiziranog signala, te kao prototip ili kernel iz kojeg se mogu dobiti realističniji signali. Također ima primjenu kod impulsno-kodne modulacije kao oblik impulsa za prijenos digitalnog signala, te kao filter za upoređivanje za primanje signala. Također je ekvivalentan trugaonom prozoru, koji se ponekad naziva Bartlettov prozor.

Mjerilo

Za bilo koji parametar, $a\ne 0$ :

$\begin{array}{cc}\mathrm{tri}(t/a)& =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(\tau )\cdot \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(\tau -t/a)d\tau \\ & =\{\begin{array}{cc}1-|t/a|,& |t|<|a|\\ 0,& \text{za ostale vrijednosti}.\end{array}\end{array}$

Fourierova transformacija

Transformacija se lahko određuje pomoću konvolucione osobine Fourierovih transformacija i Fourierove transformacije pravougaonih funkcija:

$\begin{array}{cc}ℱ\{\mathrm{tri}(t)\}& =ℱ\{\mathrm{rect}(t)*\mathrm{rect}(t)\}\\ & =ℱ\{\mathrm{rect}(t)\}\cdot ℱ\{\mathrm{rect}(t)\}\\ & =ℱ\{\mathrm{rect}(t){\}}^2\\ & ={\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}}^2(f).\end{array}$

Također pogledajte

• Šatorska funkcija