Spisak integrala inverznih trigonometrijskih funkcija

Slijedi spisak integrala (antiderivacija funkcija) racionalnih funkcija za integrande koji sadrže inverzne trigonometrijske funkcije (poznate i kao “arc funkcije”). Za potpuni spisak integrala funkcija, pogledajte tabela integrala i spisak integrala.

Za rješavanje ovih integrala koriste se metoda supstitucije ili drugi oblici algebarskih manipulacija kako bi se dosegli integrali izlistani u tablici.

Napomena: Postoje tri uobičajene notacije za inverzne trigonometrijske funkcije. Arkus sinus funkcija bi se, na primijer, mogla zapisati kao sin⁻¹, asin, ili kao što je korišteno u ovom članku, kao arcsin.

Arkus sinus

$\int \arcsin \frac{x}{c}dx=x\arcsin \frac{x}{c}+\sqrt{c^2-x^2}$

$\int x\arcsin \frac{x}{c}dx=(\frac{x^2}{2}-\frac{c^2}{4})\arcsin \frac{x}{c}+\frac{x}{4}\sqrt{c^2-x^2}$

$\int x^2\arcsin \frac{x}{c}dx=\frac{x^3}{3}\arcsin \frac{x}{c}+\frac{x^2+2c^2}{9}\sqrt{c^2-x^2}$

$\int x^n\arcsin xdx=\frac{1}{n+1}(x^{n+1}\arcsin x+\frac{x^n\sqrt{1-x^2}-n{x}^{n-1}\arcsin x}{n-1}+n\int x^{n-2}\arcsin xdx)$

Arkus kosinus

$\int \arccos \frac{x}{c}dx=x\arccos \frac{x}{c}-\sqrt{c^2-x^2}$

$\int x\arccos \frac{x}{c}dx=(\frac{x^2}{2}-\frac{c^2}{4})\arccos \frac{x}{c}-\frac{x}{4}\sqrt{c^2-x^2}$

$\int x^2\arccos \frac{x}{c}dx=\frac{x^3}{3}\arccos \frac{x}{c}-\frac{x^2+2c^2}{9}\sqrt{c^2-x^2}$

Arkus tangens

$\int \arctan \left(\frac{x}{c}\right)dx=x\arctan \left(\frac{x}{c}\right)-\frac{c}{2}\ln (c^2+x^2)$

$\int x\arctan \left(\frac{x}{c}\right)dx=\frac{(c^2+x^2)\arctan \left(\frac{x}{c}\right)-cx}{2}$

$\int x^2\arctan \left(\frac{x}{c}\right)dx=\frac{x^3}{3}\arctan \left(\frac{x}{c}\right)-\frac{c{x}^2}{6}+\frac{c^3}{6}\ln c^2+x^2$

$\int x^n\arctan \left(\frac{x}{c}\right)dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\arctan \left(\frac{x}{c}\right)-\frac{c}{n+1}\int \frac{x^{n+1}}{c^2+x^2}dx,n\ne 1$

Arkus sekans

$\int \mathrm{arcsec}\frac{x}{c}dx=x\mathrm{arcsec}\frac{x}{c}+\frac{x}{c|x|}\ln |x\pm \sqrt{x^2-1}|$

$\int x\mathrm{arcsec}xdx=\frac{1}{2}(x^2\mathrm{arcsec}x-\sqrt{x^2-1})$

$\int x^n\mathrm{arcsec}xdx=\frac{1}{n+1}(x^{n+1}\mathrm{arcsec}x-\frac{1}{n}[x^{n-1}\sqrt{x^2-1}+(1-n)(x^{n-1}\mathrm{arcsec}x+(1-n)\int x^{n-2}\mathrm{arcsec}xdx)])$

Arkus kotangens

$\int \mathrm{arccot}\frac{x}{c}dx=x\mathrm{arccot}\frac{x}{c}+\frac{c}{2}\ln (c^2+x^2)$

$\int x\mathrm{arccot}\frac{x}{c}dx=\frac{c^2+x^2}{2}\mathrm{arccot}\frac{x}{c}+\frac{cx}{2}$

$\int x^2\mathrm{arccot}\frac{x}{c}dx=\frac{x^3}{3}\mathrm{arccot}\frac{x}{c}+\frac{c{x}^2}{6}-\frac{c^3}{6}\ln (c^2+x^2)$

$\int x^n\mathrm{arccot}\frac{x}{c}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\mathrm{arccot}\frac{x}{c}+\frac{c}{n+1}\int \frac{x^{n+1}}{c^2+x^2}dx,n\ne 1$

Arkus kosekans

$\int \mathrm{arccsc}\frac{x}{c}dx=x\mathrm{arccsc}\frac{x}{c}+c\ln \left(\frac{x}{c}(\sqrt{1-\frac{c^2}{x^2}}+1)\right)$

$\int x\mathrm{arccsc}\frac{x}{c}dx=\frac{x^2}{2}\mathrm{arccsc}\frac{x}{c}+\frac{cx}{2}\sqrt{1-\frac{c^2}{x^2}}$