Skalarni proizvod

Skalarni proizvod dva vektora je definiran kao proizvod dužine prvog i drugog vektora i kosinusa ugla između njih. Dobiveni je rezultat skalar.

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a}=\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|\cos \varphi$

Skalarni proizvod vektora sa samim sobom daje kvadrat njegove dužine, jer je u tom slučaju kosinus 0° jednak 1. Skalarni proizvod vektora koji su pod pravim uglom (90°) jednak je 0, jer je kosinus pravog ugla 0.

Skalarni proizvod je komutativan, distributivan i linearan.

Definicija i primjer

Definicija skalarnog proizvoda vektora a = [a₁, a₂, … , a_n] i vektora b = [b₁, b₂, … , b_n] :

$𝐚\cdot 𝐛=\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i=a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots +a_n{b}_n$

• gdje Σ označava sabiranje po komponentama.

Primjer skalarnog množenja na trodimenzionalnom vektoru [1, 3, −5] i [4, −2, −1]:

$\left[\begin{array}{ccc}1& 3& -5\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}4& -2& -1\end{array}\right]=(1)(4)+(3)(-2)+(-5)(-1)=3.$

Za dva kompleksna kolonska vektora, skalarni proizvod je definisan kao

$𝐚\cdot 𝐛=\sum \overline{b_i}{a}_i$

gdje je

$\overline{b_i}$

konjugovano kompleksan broj od $b_i$; uočite da, u slučaju kompleksnih brojeva, imamo da je

$𝐚\cdot 𝐛=\overline{𝐛\cdot 𝐚}$

Skalarni proizvod primjenljuje se na vektore iz ortonormalnih vektorskih prostora. Njegova generalizacija na neortonormalne vektorske prostore opisana je ispod.

Geometrijska interpretacija

S obzirom da znamo da je skalarni umnožak i umnožak sa uglom između dva vektora, možemo inverznom operacijom izračunati i ugao.

$𝐚\cdot 𝐛=|𝐚||𝐛|\cos \theta$ $⟹$ $\theta =\arccos \left(\frac{𝐚\cdot 𝐛}{|𝐚||𝐛|}\right).$

Dokaz geometrijske intepretacije

Razmotrimo vektor

$𝐯=v_1𝐢+v_2𝐣+v_3𝐤.$

Uzastopnom upotrebom Pitagorinog teorema dobijamo jegovu dužinu v

$v^2=v_1^2+v_2^2+v_3^2.$

Dobijeno je isto kao i

$𝐯\cdot 𝐯=v_1^2+v_2^2+v_3^2,$

tako da zaključujemo da ćemo, ako skalarno pomnožimo vektor v sa samim sobom, dobiti njegovu dužinu na kvadrat.

Lema 1

$𝐯\cdot 𝐯=v^2.$

Sada razmatrajmo dva vektora a i b koji potiču iz istog ishodišta, a koje odvaja ugao θ. Treće vektor c može se definisati kao

$𝐜\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}𝐚-𝐛.$

tvoreći trougao sa stranicama a, b i c. Prema kosinusnom teoremu, imamo da je

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos \theta .$

Zamjenom skalarnog proizvoda za kvadrat dužine prema lemi 1, dobijamo

$𝐜\cdot 𝐜=𝐚\cdot 𝐚+𝐛\cdot 𝐛-2ab\cos \theta .$                   (1)

Ali pošto je c ≡ a − b, također imamo da je

$𝐜\cdot 𝐜=(𝐚-𝐛)\cdot (𝐚-𝐛)$,

što je, prema pravilu distributivnosti, prošireno na

$𝐜\cdot 𝐜=𝐚\cdot 𝐚+𝐛\cdot 𝐛-2(𝐚\cdot 𝐛).$                     (2)

Izjednačavanjem dvije c • c jednačine, (1) i (2), dobijamo

$𝐚\cdot 𝐚+𝐛\cdot 𝐛-2(𝐚\cdot 𝐛)=𝐚\cdot 𝐚+𝐛\cdot 𝐛-2ab\cos \theta .$

Oduzimanjem a • a + b • b sa obje strane i dijeljenjem sa −2 ostavlja nam

$𝐚\cdot 𝐛=ab\cos \theta .$

Q.E.D.

Dokaz kosinusne teoreme

Kako je $c=a-b$ imamo:

$𝐜\cdot 𝐜=(𝐚-𝐛)\cdot (𝐚-𝐛)$ $=𝐚\cdot 𝐚-𝐚\cdot 𝐛-𝐛\cdot 𝐚+𝐛\cdot 𝐛={𝐚}^2+{𝐛}^2-2ab=$ $c^2=a^2+b^2-2ab\cos \theta$

Trostruki proizvod

$𝐚\times (𝐛\times 𝐜)=𝐛(𝐚\cdot 𝐜)-𝐜(𝐚\cdot 𝐛),$ Ova formula pronalazi primjenu u pojednostavljenju vektorskih proračuna u fizici

Projekcija vektora na vektor

Pomoću skalarnog proizvoda može se izračunati projekcija vektora na vektor tj.

• $\overrightarrow{a}\overrightarrow{b_0}=\mid \overrightarrow{a}\mid cos\omega =\overrightarrow{a_b}$ skalarna projekcija vektora $\overrightarrow{a}$ na vektor $\overrightarrow{b}$
• $\overrightarrow{a}\overrightarrow{b_0}=\mid \overrightarrow{a}\mid cos\omega =\overrightarrow{b_a}$ skalarna projekcija vektora $\overrightarrow{b}$ na vektor $\overrightarrow{a}$
• $(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b_0})*\overrightarrow{b_0}=a_b\overrightarrow{b_0}$ vektorska projekcija vektora $\overrightarrow{a}$ na vektor $\overrightarrow{b}$
• $(\overrightarrow{a_0}\overrightarrow{b})*\overrightarrow{a_0}=b_a\overrightarrow{a_0}$ vektorska projekcija vektora $\overrightarrow{b}$ na vektor $\overrightarrow{a}$

Posljedice skalarnog množenja

• $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0\Rightarrow \overrightarrow{a}\mathrm{\perp }\overrightarrow{b}$
• $\overrightarrow{a}\overrightarrow{a}=\mid \overrightarrow{a}\mid \mid \overrightarrow{a}\mid \cos 0=\mid \overrightarrow{a}{\mid }^2=>\mid \overrightarrow{a}\mid \sqrt{\overrightarrow{a}\overrightarrow{a}}$
• $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}=>\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=0$
• $\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=0=>\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$ ili je bar jedan od vektora $\overrightarrow{0}$
• $cos\omega =\frac{\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}}{\mid \overrightarrow{a}\mid \mid \overrightarrow{a}\mid }$ ($0<\omega <\pi$)

Osobine skalarnog proizvoda

• $\overrightarrow{a}\overrightarrow{a}\ge 0\overrightarrow{a}\overrightarrow{a}=0<=>\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$
• $\lambda (\overrightarrow{a}\overrightarrow{b})=(\lambda \overrightarrow{a})\overrightarrow{b})=\overrightarrow{a}(\lambda \overrightarrow{b})$
• $\overrightarrow{a}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}$

Izvori

• Dot Product
• Dot Product
• Einführung in das Skalarprodukt

Također pogledajte

• Vektorski proizvod
• Vektorski zbir