Bretschneiderova formula

Četverougao

Bretschneider-ova formula se koristi u geometriji za određivanje površine četvorougla , i glasi:

$P=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd{\cos }^2\frac{\alpha +\gamma }{2}},$

pri čemu su, a, b, c i d stranice četvorougla, s je polovina obima četvorougla, a  $\alpha$ i $\gamma$ naspramni uglovi .

Bretschneider's-ova formula daje površinu četvorougla bez obzira da li je on tetivan ili nije.

Dokaz

Ako se površina četvorougla označi sa P, onda važi

$\begin{array}{c}P=P_{\mathrm{△}BDC}+P_{\mathrm{△}ADB}=\frac{1}{2}ab\sin \gamma +\frac{1}{2}cd\sin \alpha \end{array}$

$4P^2=(ab{)}^2{\sin }^2\gamma +(cd{)}^2{\sin }^2\alpha +2abcd\sin \alpha \sin \gamma .$

Prema kosinusnoj teoremi

$a^2+b^2-2ab\cos \gamma =c^2+d^2-2cd\cos \alpha ,$

Pošto su obe strane jednake kvadratu dužine dijagonale BD i

$\frac{1}{4}(c^2+d^2-a^2-b^2{)}^2=(ab{)}^2{\cos }^2\gamma +(cd{)}^2{\cos }^2\alpha -2abcd\cos \alpha \cos \gamma .$

$4P^2+\frac{1}{4}(c^2+d^2-a^2-b^2{)}^2=(ab{)}^2+(cd{)}^2-2abcd\cos (\alpha +\gamma ).$

$16P^2=4(a^2{b}^2+c^2{d}^2)-(c^2+d^2-a^2-b^2{)}^2-8abcd\cos (\alpha +\gamma ).$

$16P^2=4(ab+cd{)}^2-(c^2+d^2-a^2-b^2{)}^2-8abcd[1+\cos (\alpha +\gamma )].$

$16P^2=[2(ab+cd)-(c^2+d^2-a^2-b^2)][2(ab+cd)+(c^2+d^2-a^2-b^2)]-16abcd{\cos }^2\frac{\alpha +\gamma }{2},$

$16P^2=[(a+b{)}^2-(c-d{)}^2][(c+d{)}^2-(a-b{)}^2]-16abcd{\cos }^2\frac{\alpha +\gamma }{2}.$

$16P^2=(a+b+c-d)(a+b-c+d)(c+d+a-b)(c+d-a+b)-16abcd{\cos }^2\frac{\alpha +\gamma }{2}.$

Uzevši u obzir za poluobim četverougla

$s=\frac{a+b+c+d}{2},$

imamo

$16P^2=16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-16abcd{\cos }^2\frac{\alpha +\gamma }{2}$

Bretschneider's-ova formula je uopštenje formule Bramagupte za površinu tetivnog četvorougla, a ova je uopštenje Heronovog obrasca koji se koristi za izračunavanje površine trougla.

Izvori

• Weisstein, Eric W: Bretschneider's Formula MathWorld
• Bretschneider's Formula