Rješavanje trougla

Rješavanje trougla znači nalaženje preostalih uglova i stranica kada je dat minimum podataka. Osnovni elementi trougla su tri ugla i tri stranice, a minimum podataka, čine tri od tih osnovnih elementa, od kojih je najmanje jedan stranica. Naime, kada znamo dva ugla trougla tada možemo smatrati da znamo i treći, jer je zbir uglova u trouglu uvijek isti, 180^o. Međutim, trougao nije određen samo svojim osnovnim elementima. Ovo je glavni trigonometrijski problem. Moguće je konstruisati trougao ako je zadana težišnica i dvije stranice, ili stranica, visina i ugao, itd.

Glavni teoremi

Kosinusna teorema

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha$

$b^2=a^2+c^2-2ac\cos \beta$

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma$

Sinusna teorema

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }$

Zbir uglova trougla

$\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$

Tangensni teorem

$\frac{a-b}{a+b}=\frac{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}[\frac{1}{2}(\alpha -\beta )]}{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}[\frac{1}{2}(\alpha +\beta )]}$

Oštrougli trougao

Oštrougli trougao ima sva tri ugla manja od pravog ugla (90^o ). Pri rješavanju oštrouglog trougla moguća su sljedeća četiri slučaja:

1. date su tri strane (SSS);
2. date su dve stranice i ugao između njih (SUS);
3. data je stranica i dva nalegla ugla (USU);
4. date su dvije stranice i ugao naspram veće od njih (SSU).

To su isti uslovi koji definišu podudarnost trouglova. Razmotrićemo svaki od ovih primjera.

Date su 3 stranice trougla

Date su tri stranice a , b , c trougla. Naći njegove uglove.

I način

Kosinusna teorema $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ daje ugao A, jer je $\cos \alpha =\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}.$

Sinusna teorema $a:\sin \alpha =b:\sin \beta$ daje ugao $\beta$ , jer je $\sin \beta =\frac{b\sin \alpha }{a}.$

Treći ugao C možemo naći kao suplementni ugao prethodna dva $\gamma =180^{\circ }-(\alpha +\beta )$ .

II način

Iz poluobima $p=\frac{a+b+c}{2},razlika<math>p-a,p-b,p-c,$ i tangensne teoreme imaćemo

$\mathrm{tg}\frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)}},\mathrm{tg}\frac{\beta }{2}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-c)}{p(p-b)}},\mathrm{tg}\frac{\gamma }{2}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)}{p(p-c)}}.$

Ovaj zadatak ima jedinstveno rješenje jedino ako su zbirovi po dvije od datih stranica trougla veći od treće stranice, tj. $a+b>c,b+c>a,c+a>b$.

Date su 2 stranice i ugaoizmeđu njih

Date su 2 stranice trougla $a,b(a>b)$ i ugao $\gamma$. Naći stranicu с i uglove $\alpha$, $\beta$.

Kosinusna teorema daje stranicu $c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos \gamma }$

Sinusna teorema daće uglove. Iz uslova $a>b$ slijedi da je ugao $\beta$ oštar, pa prema tome prvo tražimo

$\sin \beta =\frac{b\sin \gamma }{c}$ tj ugao $\beta$ pa ugao $\alpha$ koji je suplementan uglovima $\beta$, $\gamma$, tj. $\alpha =180^o-(\beta +\gamma )$.

Jednistveno rješenje je ako je $\gamma <180^o$.

Data je stranica i 2 ugla koja leže na njoj

Data je stranica a i uglovi \beta i \gamma. Naći stranice b, c i ugao \alpha.

Prvo nalazimo ugao $\alpha =180^o-(\beta +\gamma )$.

Sinusna teorema daje: $b=\frac{a\sin \beta }{\sin \alpha },c=\frac{a\sin \gamma }{\sin \alpha }$}.

Za $a>b$ je $a>b\sin \alpha$ pa je $\sin \beta =\frac{b\sin \alpha }{a}<1.$

Postojijedinstveno rješenje, jer je ugao $\beta$ oštar nezavisno od toga kakav je ugao $\alpha$.

Kada je $a<b$ tada je $A<B$. Trougao je pravougli, ili, ako je $b\sin \alpha <a$, postoje dva rješenja, jer se mogu dobiti dvije vrijednosti za ugao\beta, oštar i tup ugao.

$b\sin \alpha >a$ tj. $\sin \beta >1$ , nema rješenja.

Kada je $a=b$ tada je $\alpha <90^o$ i $B<90^o$. Postoji jedinstveno rešenje.