Abelov test

Šablon:Infinitezimalni račun U matematici, Abelov test (poznat i pod nazivom Abelov kriterij) je metoda testiranja konvergencije beskonačnih redova. Test je dobio naziv po matematičaru Nielsu Abelu. Postoje dvije verzije ovog testa, koje se mnogo ne razlikuju – jedna se koristi nad redovima realnih brojeva, a druga se koristi kod potencijalnih redova u kompleksnoj analizi.

Abelov test u analizi u skupu realnih brojeva

Za dva data niza realnih brojeva, $\{a_n\}$ i $\{b_n\}$, te ako niz zadovoljava uslove

• $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ konvergira

• $\{b_n\}$ je monotona i $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n\ne \pm \mathrm{\infty }$

tada red

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{b}_n$

konvergira.

Abelov test u kompleksnoj analizi

Abelov test se često koristi za određivanje konvergencije potencijalnih redova na granicama njegovog kruga konvergencije. Specifično, Abelov test kaže da ako

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=0$

a red

$f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n$

konvergira kada je |z| < 1, a divergira kada je |z| > 1, i koeficijenti {a_n} su pozitivni realni brojevi koji opadaju monotono prema nultoj granici za n > m (za dovoljno velike n, drugim riječima), tada potencijalni red za f(z) konvergira svuda na jediničnom krugu, osim kada je z = 1. Abelov test ne može se primijeniti kada je z = 1, tako da se konvergencija u toj tački mora ispitati odvojeno. Primijetite da se Abelov test može primijeniti na potencijalne redove s radijusom konvergencije R ≠ 1 jednostavnim promjenama varijabli ζ = z/R.

Dokaz

Pretpostavimo da je z tačka na jediničnom krugu, z ≠ 1. Tada je

$z=e^{i\theta }\Rightarrow z^{\frac{1}{2}}-z^{-\frac{1}{2}}=2i\sin \frac{\theta }{2}\ne 0$

tako da, za svaka dva pozitivna cijela broja p > q > m, možemo pisati

$\begin{array}{cc}2i\sin \frac{\theta }{2}(S_p-S_q)& =\sum _{n=q+1}^p{a}_n(z^{n+\frac{1}{2}}-z^{n-\frac{1}{2}})\\ & =\left[\sum _{n=q+2}^p(a_{n-1}-a_n)z^{n-\frac{1}{2}}\right]-a_{q+1}{z}^{q+\frac{1}{2}}+a_p{z}^{p+\frac{1}{2}}\end{array}$

gdje su S_p i S_q parcijalne sume:

$S_p=\sum _{n=0}^p{a}_n{z}^n.$

Ali sada, pošto su |z| = 1 i a_n monotono opadajući pozitivni realni brojevi kada n > m, možemo pisati

$\begin{array}{cc}|2i\sin \frac{\theta }{2}(S_p-S_q)|& =\left|\sum _{n=q+1}^p{a}_n(z^{n+\frac{1}{2}}-z^{n-\frac{1}{2}})\right|\\ & \le \left[\sum _{n=q+2}^p\left|(a_{n-1}-a_n)z^{n-\frac{1}{2}}\right|\right]+\left|a_{q+1}{z}^{q+\frac{1}{2}}\right|+\left|a_p{z}^{p+\frac{1}{2}}\right|\\ & =\left[\sum _{n=q+2}^p(a_{n-1}-a_n)\right]+a_{q+1}+a_p\\ & =a_{q+1}-a_p+a_{q+1}+a_p=2a_{q+1}.\end{array}$

Sada možemo primijeniti Cauchyjev test te zaključiti da potencijalni red za f(z) konvergira u odabranoj tački z ≠ 1, zato što je sin(½θ) ≠ 0 fiksna veličina, a a_q+1 može biti manje od bilo koje date ε > 0 tako što se izabere dovoljno veliko q.

Reference

• Gino Moretti, Functions of a Complex Variable, Prentice-Hall, Inc., 1964

Vanjski linkovi

• Dokaz (za realne redove) na PlanetMath.org Šablon:Webarchive