Izvorni kôd stranice Zlatni trougao

[[Datoteka:Golden Triangle.svg|mini]]
[[Datoteka:Golden triangle and Fibonacci spiral.svg|mini]]

U matematici zlatni [[trougao]] je jednakokraki trougao kome je omjer dužine kraka i dužine osnovice jednak zlatnom broju.<ref>[http://mathworld.wolfram.com/GoldenTriangle.html Golden Triangle]
</ref>

:<math>{ a \over b} = \varphi = {1 + \sqrt{5} \over 2}.</math>

<math>\Theta = 2\sin^{-1}(\frac{b}{2a})=2\sin^{-1}\left(\frac{b}{2\varphi }\right)=\frac{\pi}{5}</math>

Može se naći  unutar pravilnog  [[Ikosaedar|Ikosaedra]], [[dodekaedar|dodekaedra]] i [[petougao|petougla]], [[pentagram]]a, desetougla..

:<math> \theta = \cos^{-1}\left( {\varphi \over 2}\right) = {\pi \over 5} = 36^\circ. </math>

Kako je zbir uglova trougla 180<sup>o</sup>, to su uglovi na osnovici zlatnog trougla po 72<sup>o</sup>.

To je jedini trougao kod koga se [[Ugao|uglovi]] nalaze u omjeru <math>2:2:1.</math>

<math>a:b=\frac{1+\sqrt{5}}{2}</math>

Sa slike je

<math>\sin (\frac{\alpha}{2})= \frac{\frac{a}{2}}{b} =\frac{1}{1+\sqrt{5} } = \frac{\sqrt{5}-1}{4} = \sin( \frac{\pi}{10})              </math>

Iz ovog slijedi da je

<math>\frac{\alpha}{2}= \frac{\pi}{10} \Rightarrow \alpha =\frac{\pi}{5}  \Rightarrow  \alpha =36^\circ </math>

Pomoću ovog trougla crta se [[logaritamska spirala]]

Svi zlatni trouglovi su slični. To proizlazi iz stava U-U-U o sličnosti trouglova.

Omjer poluprečnika pravilnom desetetouglu opisane [[kružnica|kružnice]] i dužine stranice toga desetougla jednak je zlatnom broju.

<math>R=\frac{1+\sqrt{5}}{2}a</math>

Zlatni trougao nalazimo i unutar pravilnog petougla

<math>S_5 =(5-2)180^\circ =540^\circ</math>

<math>\gamma =540^\circ/5=108^\circ</math>

<math>\delta =(108^\circ-\gamma )/2=36^\circ</math>

<math>\beta + \delta =108^\circ => \beta =72^\circ</math>
[[Datoteka:GoldenGnomon.png|mini]]
Zlatni gnomom je jednakokraki trougao kome je omjer dužine kraka i dužine osnovice jednak <math> \frac{1}{ \varphi}=  \varphi -1</math>.Njegovi uglovi su <math>36^\circ, 36^\circ ,108^\circ</math><ref>[http://mathworld.wolfram.com/GoldenGnomon.html Golden Gnomon]
</ref>

== Reference ==

[[Kategorija:Vrste trouglova]]
[[Kategorija:Zlatni rez]]