Izvorni kôd stranice Spisak formula koje sadrže π

Ovaj članak je spisak značajnih formula koje sadrže [[matematička konstanta|matematičku konstantu]] [[pi|π]].

== Klasična geometrija ==

:<math>O = 2 \pi r = \pi d,\,</math>

gdje je ''O'' obim [[krug]]a, ''r'' je radijus, a ''d'' je dijametar.

:<math>P = \pi r^2,\,</math>

gdje je ''P'' površina kruga, a ''r'' je radijus.

:<math>V = {4 \over 3}\pi r^3,</math>

gdje je ''V'' zapremina [[sfera|sfere]], a ''r'' je radijus.

:<math>P = 4\pi r^2\,</math>

gdje je ''P'' površina sfere, a ''r'' je radijus.

'''''S=2rπ*h'''''

gdje je S površina kalote(isječka), r radijus, h visina.

== Analiza ==

=== Integrali ===

:<math>\int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2}\,dx = \frac{\pi}{2}</math> (pogledajte [[pi|π]])


:<math>\int_{-1}^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \pi</math> (pogledajte [[pi|π]])


:<math>\int_{-\infty}^\infty\frac{dx}{1+x^2} = \pi</math> (integral oblika [[arctan]] preko svog cijelog domena, date period [[Trigonometrijske funkcije#Tangens|tan]]).


:<math>\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}</math> (pogledajte [[normalna raspodjela]]).


:<math>\oint\frac{dz}{z}=2\pi i</math> (kada se put integracije omota kednom u smijeru suprotnom od kazaljke na satu oko 0. Pogledajte [[Cauchyjeva integralna formula]])


:<math>\int_0^\infty\frac{\sin(x)}{x}\,dx=\frac{\pi}{2}.</math>


:<math>\int_0^1 {x^4(1-x)^4 \over 1+x^2}\,dx = {22 \over 7} - \pi</math> (pogledajte dokaz da 22 podijeljeno sa 7 prelazi vrijednost π]]).

=== Valjani beskonačni redovi ===

:<math>\sum_{k=0}^\infty\frac{k!}{(2k+1)!!}=\frac{\pi}{2}</math> (pogledajte [[dvostruki faktorijel]])

:<math>12 \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k (6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 640320^{3k + 3/2}}=\frac{1}{\pi}</math> (pogledajte [[Braća Čudnovski]])

:<math>\frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}=\frac{1}{\pi}</math> (pogledajte [[Srinivasa Ramanujan]])

:<math>\frac{\sqrt{3}}{6^5} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{((4k)!)^2(6k)!}{9^{k+1}(12k)!(2k)!} \left( \frac{127169}{12k + 1} - \frac{1070}{12k + 5} - \frac{131}{12k + 7} + \frac{2}{12k + 11}\right)=\pi</math><ref>[http://iamned.com/math/infiniteseries.pdf Derivation of Rapidly Converging Infinite Series]</ref>

Slijedeć formule su pogodne za računanje proizvoljnih binarnih decimala broja π:

:<math>\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right)=\pi</math> (pogledajte [[Bailey-Borwein-Plouffeova formula]])

:<math>\frac{1}{2^6} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{{(-1)}^n}{2^{10n}} \left( - \frac{2^5}{4n+1} - \frac{1}{4n+3} + \frac{2^8}{10n+1} - \frac{2^6}{10n+3} - \frac{2^2}{10n+5} - \frac{2^2}{10n+7} + \frac{1}{10n+9} \right)=\pi</math>

=== Ostali beskonačni redovi ===

:<math>\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2n+1} = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \arctan{1} = \frac{\pi}{4}</math> (pogledajte [[Leibnizova formula za pi]])

:<math>\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}</math> (pogledajte [[Baselov problem]] i [[zeta funkcija]])

:<math>\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}</math>  

:<math>\zeta(2n)= \frac{1}{1^{2n}} + \frac{1}{2^{2n}} + \frac{1}{3^{2n}} + \frac{1}{4^{2n}} + \cdots = (-1)^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}</math>

:<math>\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{7^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{8}</math>

:<math>\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)^3} = \frac{1}{1^3} - \frac{1}{3^3} + \frac{1}{5^3} - \frac{1}{7^3} + \cdots = \frac{\pi^3}{32}</math>

=== Machinove formule ===

: <math>\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239} </math> (originalna [[John Machin|Machinova]] formula)

:<math>\frac{\pi}{4} = \arctan\frac{1}{2} + \arctan\frac{1}{3}</math>

:<math>\frac{\pi}{4} = 2 \arctan\frac{1}{2} - \arctan\frac{1}{7}</math>

:<math>\frac{\pi}{4} = 2 \arctan\frac{1}{3} + \arctan\frac{1}{7}</math>

:<math>\frac{\pi}{4} = 5 \arctan\frac{1}{7} + 2 \arctan\frac{3}{79} </math>

:<math>\frac{\pi}{4} = 12 \arctan\frac{1}{49} + 32 \arctan\frac{1}{57} - 5 \arctan\frac{1}{239} + 12 \arctan\frac{1}{110443}</math>

:<math>\frac{\pi}{4} = 44 \arctan\frac{1}{57} + 7 \arctan\frac{1}{239} - 12 \arctan\frac{1}{682} + 24 \arctan\frac{1}{12943}</math>

=== Beskonačni proizvodi ===

:<math> \prod_{n=1}^{\infty} \frac{4n^2}{4n^2-1} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2} </math> (pogledajte [[Wallisov proizvod]])

[[François Viète|Vietaova]] formula:

:<math>\frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdot \cdots = \frac2\pi</math>

=== Tri neprekidna razlomka ===

:<math>
3+\pi= {6 + \cfrac{1^2}{6 + \cfrac{3^2}{6 + \cfrac{5^2}{6 + \cfrac{7^2}{\ddots\,}}}}}
</math>

:<math>
\frac{4}{\pi} = {1 + \cfrac{1^2}{3 + \cfrac{2^2}{5 + \cfrac{3^2}{7 + \cfrac{4^2}{\ddots}}}}}
</math>

:<math>
\pi = \cfrac{4}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{9}{2 + \cfrac{25}{2 + \cfrac{49}{\ddots}}}}}\,
</math>

Za više informacija o trećem identitetu, pogledajte [[Eulerova formula za neprekidni razlomak]].

(Također pogledajte članke [[neprekidni razlomak]] i [[uopćeni neprekidni razlomak]].)

=== Razno ===

:<math>n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n</math> ([[Stirlingova aproksimacija]])

:<math>e^{i \pi} + 1 = 0\;</math> ([[Eulerov identitet]])

:<math>\sum_{k=1}^{n} \varphi (k) \sim \frac{3n^2}{\pi^2}</math> (pogledajte [[Eulerova fi funkcija]])

:<math>\sum_{k=1}^{n} \frac {\varphi (k)} {k} \sim \frac{6n}{\pi^2}</math> (pogledajte [[Eulerova fi funkcija]])

:<math>\Gamma\left({1 \over 2}\right)=\sqrt{\pi}</math> (pogledajte [[gama funkcija]])

:<math>\pi = \frac{\Gamma\left({1/4}\right)^{4/3} \mathrm{agm}(1, \sqrt{2})^{2/3}}{2}</math> (gdje je ''ags'' [[aritmetičko-geometrijska sredina]])

== Fizika ==

*[[Kosmnološka konstanta]]:
::<math>\Lambda = {{8\pi G} \over {3c^2}} \rho</math>
*[[Princip neodređenosti|Heisenbergov princip neodređenosti]]:
::<math> \Delta x\, \Delta p \ge \frac{h}{4\pi} </math>
*[[Einsteinove jednačine polja|Einsteinova jednačina polja]] [[opća teorija relativnosti|opće relativnosti]]:
::<math> R_{ik} - {g_{ik} R \over 2} + \Lambda g_{ik} = {8 \pi G \over c^4} T_{ik} </math>
*[[Coulombov zakon]] za [[električna sila|električnu silu]]:
::<math> F = \frac{\left|q_1q_2\right|}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}</math>
*[[Permeabilnost (elektromagnetizam)|Magnetna permeabilnost za slobodni prostor]]:
::<math> \mu_0 = 4 \pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm{N/A^2}\,</math>

== Također pogledajte ==

* [[Pi]]
* [[Izračunavanje π]]
* [[Spisak tema vezanih za π]]

== Reference ==
{{refspisak|2}}
* Peter Borwein, ''[http://www.cecm.sfu.ca/personal/pborwein/PAPERS/P159.pdf The Amazing Number Pi] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150923201439/http://www.cecm.sfu.ca/personal/pborwein/PAPERS/P159.pdf |date=23. 9. 2015 }}''

{{DEFAULTSORT:Formule koje sadrže π, Spisak}}
[[Kategorija:Pi]]
[[Kategorija:Spiskovi vezani za matematiku|π]]