Izvorni kôd stranice P-norma

Norme na <math>R^2</math> su realne  [[Funkcija (matematika)|funkcije]] na <math>R^2</math> koje imaju određene osobine. Važnu klasu takvih funkcija čine p-norme.

p-norme možemo definisati za svaki realan broj  <math>p \geqslant  1,</math> te za <math>p =\infty</math>.

2-norma  standardna euklidska norma

1-norma je poznata pod nazivom  taxicab- norma a <math>\infty</math>-normu obično nazivamo [[max-norma]]. 
Svaka norma definiše udaljenost (metriku). Uvođenjem p-normi dobili smo razne načine za računanje udaljenosti između dvije tačke.

==Definicija 1==
Realna [[Funkcija (matematika)|funkcija]] <math>\rVert  \ast  \lVert </math> : <math>R^2 \rightarrow R</math> naziva se norma na R<sup>2</sup> ako ima  sljedeće  osobine:

<math>\rVert (x,y ) \lVert  \geqslant 0           </math>

<math>\rVert (x,y ) \lVert  = 0   < = >  (x,y)=0     </math>

<math>\rVert (x,y )+ (u,v) \lVert  \le 0   < = >  \rVert (x,y ) \lVert +\rVert + (u,v) \lVert    </math>

<math>\rVert c(x,y ) \lVert =| c | \rVert (x,y ) \lVert</math>

Za sve <math> (x,y),(u,v) \in R^2</math> i sve <math>c \in R</math> Zadajući neku normu na <math>R^2</math>, <math>R^2</math> postaje  normirani prostor.

Primjer norme na <math>R^2</math> je Euklidska norma koja predstavlja [[Dužina|dužinu]] dužine čije su krajnje tačke (<math>0,0)</math> i <math>(x,y)</math>, tj.

<math>
\rVert (x,y ) \lVert_p =          \sqrt{x^2 + y^2}</math>

koja predstavlja poseban slučaj p-normi <math>\rVert (x,y ) \lVert_p</math>

== Definicija 2  ==

Za svaki [[skup realnih brojeva|realni broj]] p, <math>p\geqslant1</math> definišimo

<math>(\rVert (x,y ) \lVert_p =|x |^p +|y |^p )^{\frac{1}{p}}</math>

Funkcija <math>\rVert (x,y ) \lVert_p</math> je p- norma na <math>R^2</math> 
Da bi bili li sigurni da je ovo norma moramo provjeriti da li funkcija zadovoljava uslove iz [[Definicija|definicije]] 1.
Osobine (1), (2) i (4) se lako provjere, dok je provjera (3) poznata kao nejednakost [[Trougao|trougla]], za ovaj dokaz koristi se Youngova nejednakost.

Za sve <math>a,b \geqslant 0 i p,q > 1</math> takve da je <math>\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1</math> vrijedi

<math>
ab \leqslant \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}
</math>

== Teorema 1 ==

Za svaki <math>p \geqslant 1</math> formulom

<math>
\rVert (x,y ) + (u+v)\lVert_p  \le \sqrt[p]{\rVert (x,y ) \lVert_p +\rVert (u,v ) \lVert_p}

 </math>

Dokaz

Treba dokazati da za svaki <math>p \geqslant 1</math> vrijedi

<math>\rVert (x,y ) + (u+v)\lVert_p  \le  \rVert (x,y ) \lVert_p +\rVert (u,v ) \lVert_p</math>

tj.

<math>
\sqrt[p]{ | x+u |^p +| y+v |^p  }\le 
\sqrt[p]{ | x |^p +| u |^p} +\sqrt[p]{ | y |^p +| uv |^p}</math>

za sve <math>(x,y),(u,v) \in R^2</math>

Za <math>p=1</math>

<math> [ | x + u|\le  | x | +  |  u| \land   [ | y + v|\le  | y| +  |  v|  ]   =>     | x + u| +| y + v|   \le  | x | +  |  u| +  | y | +  |  v|   </math>

Za <math>p>1</math>

U nejednakosti

<math>
ab \leqslant \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}
</math>

uvrstit ćemo izraze za <math>a</math> , <math>b</math>

<math>
a=\frac{| x |}{\rVert (x,y ) \lVert_p}</math> i <math>b=     \frac{| u |}{\rVert (u,v ) \lVert_q}</math>
a zatim

<math>
a=\frac{| y |}{\rVert (x,y ) \lVert_p}</math> i <math>b=     \frac{| v |}{\rVert (u,v ) \lVert_q}</math>

dobijamo nejednakosti

<math>\frac{| x |}{\rVert (x,y ) \lVert_p}*\frac{| u |}{\rVert (u,v ) \lVert_q}\leqslant \frac{| x |^p}{p\rVert (x,y ) \lVert_p}*\frac{| u |^q}{q\rVert (u,v ) \lVert_q}</math>

<math>\frac{| y |}{\rVert (x,y ) \lVert_p}*\frac{| v |}{\rVert (u,v ) \lVert_q}\leqslant \frac{| y|^p}{p\rVert (x,y ) \lVert_p}*\frac{| v |^q}{q\rVert (u,v ) \lVert_q}</math>

saberemo li ih dobijamo  nejednakosti

<math>\frac{| x || u| +| y|| v |}{\rVert (x,y ) \lVert_p\rVert (u,v ) \lVert_q}\leqslant

 \frac{| x |^p+ | y |^p}{p\rVert (x,y ) \lVert_p}+\frac{| u |^q+| v|^q}{q\rVert (u,v ) \lVert_q} = \frac{1}{p} +   \frac{1}{q}=1 </math>

tj

<math>| x || u |+| y || v |\leqslant  \sqrt[q]{x^p+y^p} +\sqrt[p]{u^q+v^q}</math>
za svako <math>x, y, u, v \in  R</math>

Ako uzmemo <math>(x+u)^{p-1}</math> za <math> u </math> i (<math>y+v)^{q-1}</math> za <math> v </math> 
i smatrajući <math>(p-1)_q=p</math>

<math>| x ||x+ u |^{p-1}+| y ||y+ v |^{p-1}\leqslant  \sqrt[p]{x^p+y^p} +\sqrt[q]{u^q+v^q}</math>

Zamjenom uloga x i u , y i v imamo

<math>
| u ||x+ u |^{p-1}+| v ||y+ v |^{p-1}\leqslant  \sqrt[p]{u^p+v^p} +

\sqrt[q]{|x+ u |^p +|y+ p |^p  }</math>

<math>
|x+ u |^p+ |y+ v |^p =    | x +u||x+ u |^{p-1}+| y +v||y+ v |^{p-1}</math>

<math>
\leqslant (| x|+  |u||x+ u |^{p-1}+ (| y |+  | v| ) |y+ v |^{p-1} =</math>

<math>| x||x+ u |^{p-1} + | u||x+ u |^{p-1} + | y | |y+ v |^{p-1} +    | v | |y+ v |^{p-1} =</math>

na osnovu ranijih nejednakosti imamo

<math>\sqrt[p]{ | x |^p + | y |^p}\sqrt[q]{ | x +u|^p + | y+v |^p}  +
\sqrt[p]{ | u |^p + | v |^p}\sqrt[q]{ | x +u|^p + | y+v |^p}
</math>

odnosno

<math>|x+u|^p+|y+v|^p  \leqslant   ( \sqrt[p]{ | x |^p + | y |^p} +\sqrt[p]{ | u |^p + | v |^p}) ( |x+u|^p+|y+v|^p ))          </math>

Dijeljenjem s drugim faktorom s desne strane slijedi

<math>
\sqrt[n]{|x+u|^p+|y+v|^p }\leqslant   ( \sqrt[p]{ | x |^p + | y |^p} +\sqrt[p]{ | u |^p + | v |^p})
</math>
==Izvor==
p-norme na <math>R^2</math> , kružnice <math>S_p</math>  i brojevi <math>\pi_p</math> // Ljiljana Arambašić Ivona Zavišic //Osječki matematički list (10(2010), 131{138)

[[Kategorija:Normirani prostori]]
[[Kategorija:Banachovi prostori]]
[[Kategorija:Funkcionalna analiza]]
[[Kategorija:Norme (matematika)]]