Izvorni kôd stranice Limes (matematika)

{{Preusmjerenje|Granična vrijednost}}
{{Nedostaju izvori}}
U [[matematika|matematici]], '''granična vrijednost''' ili '''limes''' se koristi za opisivanje [[ponašanje|ponašanja]] [[Funkcija (matematika)|funkcije]] kako se njen argument "približava" nekoj tački, ili kako argument postaje proizvoljno velik; ili ponašanja elemenata [[niz]]a kako njihov [[indeks (matematika)|indeks]] raste u beskonačnost. Granične vrijednosti se koriste u [[kalkulus]]u i drugim granama [[matematička analiza|matematičke analize]] kako bi se definisala [[derivacija]] i [[neprekidna funkcija|neprekidnost]].

== Granična vrijednost funkcije ==
{{glavni|Granična vrijednost funkcije}}

Pretpostavimo da je ƒ(''x'') [[funkcija realne vrijednosti]] i da je ''c'' [[realan broj]]. Izraz:

:<math> \lim_{x \to c}f(x) = L </math>

znači da se ƒ(''x'') proizvoljno može približiti broju ''L'' ako je ''x'' dovoljno blizu broja ''c''.  U ovom slučaju, možemo reći da je "granična vrijednost funkcije ƒ od ''x'', kada ''x'' teži u ''c'', broj ''L''".

=== Formalna definicija ===

[[Datoteka:Límite 01.svg|mini|desno|Kad god je ''x'' unutar &delta; jedinica od ''p'', ''f''(''x'') je unutar &epsilon; jedinica od ''L'']]
[[Karl Weierstrass]] formalno je definisao graničnu vrijednost kako slijedi:

Neka ''f'' bude funkcija definisana na [[interval (matematika)|otvorenom intervalu]] sadržavajući ''c'' (osim u ''c'') i neka ''L'' bude [[realan broj]].

:<math> \lim_{x \to c}f(x) = L </math>

znači da

:za svaki realan broj &epsilon; > 0 postoji realan broj &delta; > 0 takav da za svako ''x'' sa 0&nbsp;<&nbsp;|''x''&nbsp;&minus;&nbsp;''c''|&nbsp;<&nbsp;&delta;, imamo  |''f''(''x'')&nbsp;&minus;&nbsp;''L''|&nbsp;<&nbsp;&epsilon;.

ili, simbolički,

:<math> \forall \varepsilon > 0 \ \ \exists \delta > 0 \ \ \forall x (|x - c| < \delta \ \implies \ |f(x) - L| < \varepsilon).</math>

== Granična vrijednost niza ==
{{glavni|Granična vrijednost niza}}

Razmotrimo niz: 1,79; 1,799; 1,7999; ... Možemo primijetiti da se brojevi "približavaju" broju 1,8, što predstavlja graničnu vrijednost niza.

formalno, pretpostavimo da je ''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ... [[niz]] [[realan broj|realnih brojeva]].
Kažemo da je realan broj ''L'' ''granična vrijednost'' ovog niza i to pišemo kao

:<math> \lim_{n \to \infty} x_n = L </math>

što riječima znači

:Za svaki [[realan broj]] ε > 0, postoji [[prirodan broj]] ''n''<sub>0</sub> takav da za svako ''n'' > ''n''<sub>0</sub>, vrijedi |''x''<sub>''n''</sub>&nbsp;&minus;&nbsp;''L''| < ε.

== Korisni identiteti ==

*<math>\lim_{n \to c} S \sdot f(n) = S \sdot \lim_{n \to c} f(n)</math>, gdje je S [[skalarno množenje|skalarni množilac]].
*<math>\lim_{n \to c} b^{f(n)} =\displaystyle b^{\lim_{n \to c} f(n)}</math>, gdje je ''b'' konstanta.

Sljedeća pravila važe samo ako granične vrijednosti sa desne strane postoje i ako su konačne.

*<math>\lim_{n \to c} ( f(n) + g(n) ) = \lim_{n \to c} f(n) + \lim_{n \to c} g(n)</math>
*<math>\lim_{n \to c} ( f(n) - g(n) ) = \lim_{n \to c} f(n) - \lim_{n \to c} g(n)</math>
*<math>\lim_{n \to c} ( f(n) \sdot g(n) ) = \lim_{n \to c} f(n) \sdot \lim_{n \to c} g(n)</math>
*<math>\lim_{n \to c} \frac{f(n)}{g(n)} = \frac{\lim_{n \to c} f(n)}{\lim_{n \to c} g(n)}</math>, ako limes u nazivniku nije jednak nuli

Ako je bilo koja od graničnih vrijednosti sa desne strane nedefinisana ili beskonačna, ova pravila ne moraju vrijediti.

Na primjer, <math>\lim_{n \to \infty} (3n+2) + (2-3n) = 4 </math>, ali <math>\lim_{n \to \infty} (3n+2) + \lim_{n \to \infty}(2-3n) </math> je nedefinisan.

=== Veoma važne granične vrijednosti===

* <math>\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1</math>
* <math>\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0</math>
* <math>\lim_{x\to\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e.</math>

=== L'Hôpitalovo pravilo ===
{{glavni|L'Hôpitalovo pravilo}}

Ovo pravilo koristi [[derivacija|derivacije]] i ima uslov za primjenu. (Može se koristiti samo na graničnim vrijednostima oblika 0/0 ili ±∞/±∞. Ostali [[neodređeni oblik|neodređeni oblici]] zahtijevaju algebarske manipulacije.)

*<math>\lim_{n \to c} \frac{f(n)}{g(n)} = \lim_{n \to c} \frac{f'(n)}{g'(n)}</math>

Na primjer:

<math>\lim_{n \to 0} \frac{\sin (2n)}{\sin (3n)} =
\lim_{n \to 0} \frac{2 \cos (2n)}{3 \cos (3n)} =
\frac{2 \sdot 1}{3 \sdot 1} =
\frac{2}{3}.</math>

=== Sume i integrali ===

Kraći način zapisivanja granične vrijednosti <math>\lim_{n \to \infty} \sum_{i=s}^{n} f(i) </math>
je <math>\sum_{i=s}^{\infty} f(i)</math>.

Kraći naćin zapisivanja granične vrijednosti <math>\lim_{n \to \infty} \int_{a}^{n} f(x) \; dx </math>
je <math>\int_{a}^{\infty} f(x) \; dx</math>.

Kraći naćin zapisivanja granične vrijednosti <math>\lim_{n \to -\infty} \int_{n}^{b} f(x) \; dx </math>
je <math>\int_{-\infty}^{b} f(x) \; dx</math>.

== Također pogledajte ==

* [[Jednostrana granična vrijednost]]
* [[Teorem stiska]]

[[Kategorija:Topologija]]
[[Kategorija:Realna analiza]]
[[Kategorija:Granične vrijednosti]]