Izvorni kôd stranice Integro-diferencijalna jednačina

{{Nedostaju izvori}}

'''Integro-diferencijalna jednačina''' je jednačina koja uključuje i [[integral]]e i [[derivacija|derivacije]] funkcije. 

Opšta linearna integro-diferencijalna jednačina prvog reda ima oblik

:<math>
\frac{d}{dx}u(x) + \int_{x_0}^x f(t,u(t))\,dt = g(x,u(x)), \qquad u(x_0) = u_0, \qquad x_0 \ge 0.
</math>

Kao što je tipično kod [[diferencijalna jednačina|diferencijalnih jednačina]], dobijanje rješenja zatvorenog oblika može često biti teško. U relativno malo slučajeva gdje se rješenje može naći, često se koristi neka vrsta integralne [[Transformacija|transformacije]], gdje se problem prvo transformiše u [[Algebra|algebarski]]. U takvim [[situacija|situacijama]], rješenje problema može se dobiti primjenom inverzne transformacije na tu algebarsku jednačinu.

=== Primjer ===

Razmotrimo sljedeći problem prvog reda,

: <math>
u'(x) + 2u(x) + 5\int_{0}^{x}u(t)\,dt = 
\left\{ \begin{array}{ll}
         1, \qquad x \geq 0\\
         0, \qquad x < 0 \end{array} 
\right. \qquad \text{with} \qquad u(0)=0.
</math>

[[Laplaceova transformacija]] je definisana preko,

:<math> U(s) = \mathcal{L} \left\{u(x)\right\}=\int_0^{\infty} e^{-sx} u(x) \,dx. </math>

Nakon Laplaceova transformacije član po član i korištenja pravila za derivaciju i integraciju, integro-diferencijalna jednačina se prebacuje u sljedeću algebarsku jednačinu,

:<math> s U(s) - u(0) + 2U(s) + \frac{5}{s}U(s) = \frac{1}{s}. </math>

Time je,

:<math> U(s) = \frac{1}{s^2 + 2s + 5} </math>.

Inverznom Laplaceovom transformacijom korištenjem [[Metodi konturne integracije|metoda konturne integracije]] dobijamo

:<math> u(x) = \frac{1}{2} e^{-x} \sin(2x) </math>.

=== Primjene ===

Integro-diferencijalne jednačine opisuju mnoge situacije iz [[Nauka|nauke]] i [[Inženjerstvo|inženjerstva]]. Posebna važna oblast primjene je kod [[Analiza|analize]] [[električno kolo|električnih kola]].
 
Aktivnost međudjelujućih ''inhibitorskih'' i ''ekscitacijskih'' [[neuron]]a može se opisati sistemom integro-diferencijalnih jednačina (pogledajte kao primjer članak [[Wilson-Cowanov model]]).

== Također pogledajte ==

* [[Diferencijalna jednačina]]
* [[Parcijalna diferencijalna jednačina]]
* [[Laplaceova transformacija]]
* [[Integrodiferentna jednačina]]

== Vanjski linkovi ==

* [http://www.intmath.com/Laplace-transformation/9_Integro-differential-eqns-simultaneous-DE.php Interactive Mathematics]
* [https://web.archive.org/web/20131202232640/http://www2.maths.ox.ac.uk/chebfun/examples/integro/html/WikiIntegroDiff.shtml Numeričko rješenje] primjera korištenjem [[Chebfun]]a

== Reference ==

* Vangipuram Lakshmikantham, M. Rama Mohana Rao, “Theory of Integro-Differential Equations”, CRC Press, 1995

[[Kategorija:Diferencijalne jednačine]]
[[Kategorija:Integralne jednačine]]