Izvorni kôd stranice Implicitna jednačina

{{Calculus|Diferencijalni}}
U [[matematika|matematici]], '''implicitna jednačina''' je [[relacija (matematika)|relacija]] oblika <math>R(x_1, \dots, x_n) = 0,</math>, gdje je {{mvar|R}} [[funkcija (matematika)|funkcija]] od nekoliko varijabli (često [[polinom]]). Naprimjer, implicitna jednadžba [[jedinični krug]] je <math>x^2 + y^2 - 1 = 0.</math>
 
'''Implicitna funkcija''' je [[funkcija (matematika)|funkcija]] koja je definirana implicitnom jednačinom, koja povezuje jednu od varijabli, smatra se [[vrijednost (matematika)|vrijednošću]] funkcija, dok se ostale smatraju [[argument funkcije|argumentima]].<ref name=Chiang>{{cite book |last=Chiang |first=Alpha C. |title=Fundamental Methods of Mathematical Economics |location=New York |publisher=McGraw-Hill |edition=Third |year=1984 |isbn=0-07-010813-7 |url=https://archive.org/details/fundamentalmetho0000chia_b4p1 |url-access=registration }}</ref>{{rp|204–206}} Naprimjer, jednadžba <math>x^2 + y^2 - 1 = 0</math> [[jedinični krug|jediničnog kruga]] definira {{mvar|y}} kao implicitnu funkciju {{mvar|x}} ako je {{math|−1 ≤ ''x'' ≤ 1}}, a {{mvar|y}} je ograničen na nenegativne vrijednosti.
 
[[Teorema o implicitnoj funkciji]] pruža uslove pod kojima neki tipovi implicitnih jednačina definiraju implicitne funkcije, naime one koje se dobijaju izjednačavanjem sa nula [[multivarijabilna funkcija|multivarijabilnih funkcija]] koje su [[kontinuirana diferencijabilnost|kontinuirano diferencibilne]].
 
==Primjeri==
 
===Inverzne funkcije===
Uobičajeni tip implicitne funkcije je [[inverzna funkcija]]. Nemaju sve funkcije jedinstvenu inverznu funkciju. Ako je {{mvar|g}} funkcija {{mvar|x}} koja ima jedinstvenu inverziju, tada je inverzna funkcija {{mvar|g}}, zvana {{math|''g''<sup >−1</sup>}}, je jedinstvena funkcija koja daje [[rješenje (matematika)|rješenje]] jednačine
 
:<math> y=g(x) </math>
 
za {{mvar|x}} u smislu {{mvar|y}}. Ovo rješenje se tada može zapisati kao
 
:<math> x = g^{-1}(y) \,.</math> Definisanje {{math|''g''<sup>−1</sup>}} kao inverznog od {{mvar|g}} je implicitna definicija. Za neke funkcije {{mvar|g}}, {{math|''g''<sup>−1</sup>(''y'')}} se može eksplicitno ispisati kao [[izraz zatvorene forme]] — naprimjer, ako je {{math|1=''g''(''x'') = 2''x'' − 1}}, onda {{math|1=''g'' <sup>−1</sup>(''y'') = {{sfrac|1|2}}(''y'' + 1)}}. Međutim, to često nije moguće ili samo uvođenjem nove oznake (kao u primjeru [[log proizvod]]a ispod).
 
Intuitivno, inverzna funkcija se dobija iz {{mvar|g}}, zamjenom uloga zavisnih i nezavisnih varijabli.
 
'''Primjer''':  [[log proizvoda]] je implicitna funkcija koja daje rješenje za {{mvar|x}} jednačine {{math|1=''y'' − ''xe'' <sup>''x''</sup> = 0}}.
 
===Algebarske funkcije===
{{glavni|Algebarska funkcija}}
'''Algebarska funkcija''' je funkcija koja zadovoljava polinomsku jednadžbu čiji su koeficijenti sami [[polinom]]i. Naprimjer, algebarska funkcija u jednoj varijabli {{mvar|x}} daje rješenje za {{mvar|y}} jednačine
:<math>a_n(x)y^n+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots+a_0(x)=0 \,,</math>
 
gdje su koeficijenti {{math|''a<sub>i</sub>''(''x'')}} polinomske funkcije od {{mvar|x}}. Ova algebarska funkcija se može napisati kao desna strana jednačine rješenja {{math|1=''y'' = ''f''(''x'')}}. Ovako napisana, {{mvar|f}} je [[funkcija s više vrijednosti|višeznačna]] implicitna funkcija.
 
Algebarske funkcije imaju važnu ulogu u [[matematička analiza|matematičkoj analizi]] i [[algebarska geometrija|algebarskoj geometriji]]. Jednostavan primjer algebarske funkcije dat je lijevom stranom jednadžbe jediničnog kruga:
 
:<math>x^2+y^2-1=0 \,. </math>
 
Rješavanje za {{mvar|y}} daje eksplicitno rješenje:
 
:<math>y=\pm\sqrt{1-x^2} \,.</math>
 
Ali čak i bez specificiranja ovog eksplicitnog rješenja, moguće je implicitno rješenje jednadžbe jediničnog kruga pozvati kao {{math|1=''y'' = ''f''(''x'')}}, gdje je {{mvar|f}} viševrijedna implicitna funkcija.
 
Dok se eksplicitna rješenja mogu naći za jednačine koje su [[kvadratne jednačine|kvadratne]], [[kubne jednačine|kubne]] i [[kvartne jednačine|kvartne]] u {{mvar|y}}, isto nije općenito vrijedi za [[kvintna jednačina|kvintne]] i jednačine višeg stepena, kao što je
 
:<math> y^5 + 2y^4 -7y^3 + 3y^2 -6y - x = 0 \,. </math>
 
Ipak, i dalje se može pozvati na implicitno rješenje {{math|1=''y'' = ''f''(''x'')}} koje uključuje viševrijednu implicitnu funkciju {{mvar|f}} .
 
==Upozorenja==
Ne podrazumijeva svaka jednačina {{math|1=''R''(''x'', ''y'') = 0}} grafikon jednoznačne funkcije, a jednačina kružnica je jedan istaknuti primjer. Drugi primjer je implicitna funkcija data sa {{math|1=''x'' − ''C''(''y'') = 0}}, gdje je {{mvar|C}} [[kubni polinom]] ima "grbu" u svom grafikonu. Dakle, da bi implicitna funkcija bila "istinita" (jednoznačna) funkcija, možda će biti potrebno koristiti samo dio grafikona. Implicitna funkcija se ponekad može uspješno definirati kao istinita samo nakon "zumiranja" na nekom dijelu {{mvar|x}}-ose i "odsjecanja" nekih neželjenih grana funkcije. Tada se može napisati jednačina koja izražava {{mvar|y}} kao implicitnu funkciju ostalih varijabli. Jednačina koja definiše {{math|1=''R''(''x'', ''y'') = 0}} također može imati druge patologije. Naprimjer, jednadžba {{math|1=''x'' = 0}} ne implicira funkciju {{math|''f''(''x'')}} koja daje rješenja za {{mvar| y}} uoće; to je vertikalna linija. Da bi se izbjegao ovakav problem, često se nameću različita ograničenja na dozvoljene tipove jednačina ili na [[domen funkcije|domen]]. [[Teorema o implicitnoj funkciji]] pruža jedinstven način rukovanja ovim tipovima patologija.
 
==Implicitna diferencijacija==
U [[račun]]u, metod zvani '''implicitna diferencijacija''' koristi [[pravilo lanca]] za razlikovanje implicitno definiranih funkcija.
 
Za razlikovanje implicitne funkcije {{math|''y''(''x'')}}, definisane jednadžbom {{math|1=''R''(''x'', ''y'') = 0}}, općenito nije moguće to riješiti eksplicitno za {{mvar|y}} i potom diferencirati. Umjesto toga, može se [[totalna diferencijacija|potpuno diferencirati]] {{math|1=''R''(''x'', ''y'') = 0}} u odnosu na {{mvar|x}} i {{mvar|y}}, a zatim riješiti rezultirajuću linearnu jednačinu za {{math|{{sfrac|''dy''|''dx''}}}} da bi se eksplicitno dobio izvod u terminima {{mvar|x}} i {{mvar|y}}. Čak i kada je moguće eksplicitno riješiti originalnu jednadžbu, formula koja proizlazi iz totalne diferencijacije je općenito mnogo jednostavnija i lakša za korištenje.

===Primjeri===
==== Primjer 1 ====
Zamislimo
:<math>y + x + 5 = 0\,.</math>
 
Ovu jednačinu je lahko riješiti za {{mvar|y}}, dajući
 
:<math>y = -x - 5 \,,</math>
 
gdje je desna strana eksplicitni oblik funkcije {{math|''y''(''x'')}}. Diferencijacija tada daje {{math|1={{sfrac|''dy''|''dx''}} = −1}}.
 
Alternativno, može se potpuno razlikovati originalna jednačina:
 
:<math>\begin{align}
\frac{dy}{dx} + \frac{dx}{dx} + \frac{d}{dx}(5) &= 0 \, ; \\[6px]
\frac{dy}{dx} + 1 + 0 &= 0 \,.
\end{align}</math>
 
Rješavanje za {{math|{{sfrac|''dy''|''dx''}}}} daje
 
:<math>\frac{dy}{dx} = -1 \,,</math>;
 
isti odgovor kao i prethodno dobijen.
 
==== Primjer 2 ====
Primjer implicitne funkcije za koju je implicitna diferencijacija lakša od korištenja eksplicitne diferencijacije je funkcija {{math|''y''(''x'')}} definirana jednadžbom:
:<math> x^4 + 2y^2 = 8 \,.</math>
 
Da bi se ovo eksplicitno razlikovalo u odnosu na {{mvar|x}}, prvo treba dobiti
 
:<math>y(x) = \pm\sqrt{\frac{8 - x^4}{2}} \,,</math>
 
a zatim diferencirati ovu funkciju. Ovo stvara dva izvoda: jedan za {{math|''y'' ≥ 0}} i drugi za {{math|''y'' < 0}}.
 
Znatno je lakše implicitno diferencirati originalnu jednačinu:
 
:<math>4x^3 + 4y\frac{dy}{dx} = 0 \,,</math>
 
davanjem
 
:<math>\frac{dy}{dx} = \frac{-4x^3}{4y} = -\frac{x^3}{y} \,.</math>
 
==== Primjer 3 ====
Često je teško ili nemoguće eksplicitno riješiti  {{mvar|y}}, a implicitna diferencijacija je jedini izvodljivi metod diferencijacije. Primjer je jednadžba
:<math>y^5-y=x \,.</math>
 
Nemoguće je [[algebarski izraz]]iti {{mvar|y}} eksplicitno kao funkciju {{mvar|x}}, pa se stoga ne može pronaći {{math|{{sfrac|''dy' '|''dx''}}}} eksplicitnom diferencijacijom. Koristeći implicitni metod, {{math|{{sfrac|''dy''|''dx''}}}} se može dobiti diferenciranjem jednačine da se dobije
 
:<math>5y^4\frac{dy}{dx} -\frac{dy}{dx} = \frac{dx}{dx}\,,</math>
 
gdje je {{math|1={{sfrac|''dx''|''dx''}} = 1}}. Faktoriranje {{math|{{sfrac|''dy''|''dx''}}}} pokazuje da
 
:<math>\left(5y^4 - 1\right)\frac{dy}{dx} = 1\,,</math>
 
što daje rezultat
 
:<math>\frac{dy}{dx}=\frac{1}{5y^4-1} \,,</math>
 
koji je definisan za
 
:<math>y \ne \pm\frac{1}{\sqrt[4]{5}} \quad \text{and} \quad y \ne \pm \frac{i}{\sqrt[4]{ 5}} \,.</math>

===Opća formula za izvođenje implicitne funkcije===
Ako je {{math|1=''R''(''x'', ''y'') = 0}}, derivat implicitne funkcije {{math|''y''(''x' ')}} je dat pomoću<ref name="Stewart1998">{{cite book | last = Stewart | first = James | title = Calculus Concepts And Contexts | publisher = Brooks/Cole Publishing Company | year = 1998 | isbn = 0-534-34330-9 | url-access = registration | url = https://archive.org/details/calculusconcepts00stew }}</ref>{{rp|§11.5}}
 
:<math>\frac{dy}{dx} = -\frac{\,\frac{\partial R}{\partial x}\,}{\frac{\partial R}{\partial y}} = -\frac {R_x}{R_y} \,,</math>
 
gdje {{math|''R<sub>x</sub>''}} i {{math|''R<sub>y</sub>''}} označavaju [[djelimični derivat]]i  {{mvar|R}} u odnosu na {{mvar|x}} i {{mvar|y}}.
 
Gornja formula dolazi od upotrebe [[Pravilo lanca|generalizovanog lančanog pravila]] da se dobije [[ukupni derivat]] — u odnosu na {{mvar|x}} — obje strane {{math|1= ''R''(''x'', ''y'') = 0}}:
 
:<math>\frac{\partial R}{\partial x} \frac{dx}{dx} + \frac{\partial R}{\partial y} \frac{dy}{dx} = 0 \,, </math>
 
dakle
 
:<math>\frac{\partial R}{\partial x} + \frac{\partial R}{\partial y} \frac{dy}{dx} =0 \,,</math>
 
koji, kada je riješen za {{math|{{sfrac|''dy''|''dx''}}}}, daje izraz iznad.

==Teorema implicitne funkcije==
[[slika:Implicit circle.svg|thumb|right|200px| Jedinični krug može se definisati implicitno kao skup tačaka {{math|(''x'', ''y'')}} koji zadovoljavaju {{math|1=''x''<sup>2</sup > + ''y''<sup>2</sup> = 1}}. Oko tačke {{mvar|A}}, {{mvar|y}} se može izraziti kao implicitna funkcija {{math|''y''(''x'')}}. (Za razliku od mnogih slučajeva, ovdje ova funkcija može biti eksplicitna kao {{math|1=''g''<sub>1</sub>(''x'') = {{sqrt|1 − ''x ''<sup>2</sup>}}}}.) Takva funkcija ne postoji oko tačke {{mvar|B}}, gdje je [[tangentni prostor]] okomit.]]
{{glavni|Teorema implicitne funkcije}}
 
Neka {{math|''R''(''x'', ''y'')}} bude [[diferencijabilna funkcija]] dvije varijable, a {{math|(''a'', ' 'b'')}} biti par [[stvarni broj]] takvih da je {{math|1=''R''(''a'', ''b'') = 0}}. Ako je {{math|{{sfrac|∂''R''|∂''y''}} ≠ 0}}, onda {{math|1=''R''(''x'', '' y'') = 0}} definiše implicitnu funkciju koja se može diferencirati u nekom dovoljno malom [[susjedstvo (matematika)|susjedstvu]] od {{open-open|''a'', ''b''}}; drugim riječima, postoji diferencijabilna funkcija {{mvar|f}} koja je definirana i diferencibilna u nekom susjedstvu {{mvar|a}}, tako da je {{math|1=''R''(''x '', ''f''(''x'')) = 0}} za {{mvar|x}} u ovom susjedstvu.
 
Uslov {{math|{{sfrac|∂''R''|∂''y''}} ≠ 0}} znači da {{math|(''a'', ''b'')}} je [[singularna tačka krive|regularna tačka]] [[implicitna kriva|implicitne krive]] implicitne jednačine {{math|1=''R''(''x'', ''y'') = 0}} gdje [[tangenta]] nije okomita. U manje tehničkom jeziku, implicitne funkcije postoje i mogu se razlikovati, ako kriva ima nevertikalnu tangentu.<ref name="Stewart1998"/>{{rp|§11.5}}
 
==U algebarskoj geometriji==
Razmotrite [[relacija (matematika)|relaciju]] oblika {{math|1=''R''(''x''<sub>1</sub>, …, ''x''<sub >''n''</sub>) = 0}}, gdje je {{mvar|R}} multivarijabilni polinom. Skup vrijednosti varijabli koje zadovoljavaju ovu relaciju naziva se [[implicitna kriva]] ako je {{math|1=''n'' = 2}} i '''implicitna  površina''' ako je {{ math|1=''n'' = 3}}. Implicitne jednačine su osnova [[algebarska geometrije]], čiji su osnovni predmet proučavanja simultana rješenja nekoliko implicitnih jednačina čije su lijeve strane polinomi. Ovi skupovi simultanih rješenja nazivaju se [[afini algebarski skup]]ovi.
 
==U diferencijalnim jednačinama==
Rješenja diferencijalnih jednačina općenito se pojavljuju izražena implicitnom funkcijom.<ref>{{cite book |last=Kaplan |first=Wilfred |title=Advanced Calculus |url=https://archive.org/details/advancedcalculus0000kapl_l7g3 |location=Boston |publisher=Addison-Wesley |year=2003 |isbn=0-201-79937-5 }}</ref>
 
==Primjene u ekonomiji==
 
===Marginalna stopa supstitucije===
 
U [[ekonomija|ekonomiji]], kada je postavljen nivo {{math|1=''R''(''x'', ''y'') = 0}} [[kriva indiferentnosti]] za količine {{mvar|x}} i {{mvar|y}} konzumiraju dva dobra, apsolutna vrijednost implicitnog derivata {{math|{{sfrac|''dy''|''dx''}}}} tumači se kao [[granična stopa supstitucije]] dva dobra: koliko više {{mvar|y}} treba primiti da bi bio ravnodušan prema gubitku jedne jedinice&nbsp;{{mvar|x}}.
 
===Marginalna stopa tehničke zamjene===
 
Slično, ponekad je skup nivoa {{math|''R''(''L'', ''K'')}} [[izokvant]]a koji prikazuje različite kombinacije iskorišćenih količina {{mvar|L}} rada i {{mvar|K}} [[fizički kapital|fizičkog kapitala]] od kojih bi svaki rezultirao proizvodnjom iste date količine proizvoda nekog dobra. U ovom slučaju apsolutna vrijednost implicitne derivacije {{math|{{sfrac|''dK''|''dL''}}}} tumači se kao [[granična stopa tehničke zamjene]] između dva faktora proizvodnje: koliko više kapitala firma mora upotrijebiti da proizvede istu količinu autputa sa jednom jedinicom rada manje.
 
===Optimizacija===
{{Glavni|Matematička ekonomija#Matematička optimizacija}}
 
Često u [[ekonomska teorija|ekonomskoj teoriji]], neka funkcija kao što je [[funkcija korisnosti]] ili funkcija [[Profit (ekonomija)|profita]] treba biti maksimizirana u odnosu na vektor izbora {{mvar|x}} iako ciljna funkcija nije ograničena ni na jednu specifičnu funkcionalnu formu. [[Teorema implicitne funkcije]] garantuje da [[uvjet prvog reda]] optimizacije definiraju implicitnu funkciju za svaki element optimalnog vektora {{math|''x''*}} vektora izbora {{mvar|x}}. Kada se profit maksimizira, obično rezultirajuće implicitne funkcije su funkcija [[tražnja rada]] i [[funkcija ponude]] različitih dobara. Kada se korisnost maksimizira, obično rezultirajuće implicitne funkcije su funkcija [[ponuda rada]] i [[funkcija potražnje]] za različita dobra. Štaviše, uticaj [[Parametar|parameteri]] problema na {{math|''x''*}} — parcijalne derivate implicitne funkcije — može se izraziti kao [[ukupni derivat]]i sistema uslova prvog reda pronađenog pomoću [[Diferencijalna funkcija|totalne diferencijacije]].
{{clear}}
 
==Također pogledajte==
{{Div col|colwidth=20em}}
*[[Implicitna kriva]]
*[[Funkcionalna jednačina]]
*[[Nivo postavljeno]]
**[[Linija konture]]
**[[Izopovršina]]
*[[Granična stopa zamjene]]
*[[Teorema o implicitnoj funkciji]]
*[[Logaritmska diferencijacija]]
*[[Poligonizator]]
*[[Povezane stope]]
{{Div col end}}

==Reference==
{{Reflist}}
 
==Dopunska literatura==
*{{cite book |first=K. G. |last=Binmore|chapter=Implicit Functions |title=Calculus |location=New York |publisher=Cambridge University Press |year=1983 |isbn=0-521-28952-1 |pages=198–211 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=K8RfQgAACAAJ&pg=PA198 }}
*{{cite book |last=Rudin |first=Walter|title=Principles of Mathematical Analysis |url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi |url-access=registration |location=Boston |publisher=McGraw-Hill |year=1976 |isbn=0-07-054235-X |pages=[https://archive.org/details/principlesofmath00rudi/page/223 223–228] }}
*{{cite book |last=Simon |first=Carl P. |last2=Blume |first2=Lawrence|chapter=Implicit Functions and Their Derivatives |title=Mathematics for Economists |location=New York |publisher=W. W. Norton |year=1994 |isbn=0-393-95733-0 |pages=334–371 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=l2nWMwEACAAJ&pg=PA334 }}

==Vanjski linkovi==
*Archived at [https://ghostarchive.org/varchive/youtube/20211212/qb40J4N1fa4 Ghostarchive]{{cbignore}} and the [https://web.archive.org/web/20170507005435/https://www.youtube.com/watch?v=qb40J4N1fa4 Wayback Machine]{{cbignore}}: {{cite web |title=Implicit Differentiation, What's Going on Here? |series=Essence of Calculus |work=3Blue1Brown |date=3. 5. 2017 |url=https://www.youtube.com/watch?v=qb40J4N1fa4&list=PLZHQObOWTQDMsr9K-rj53DwVRMYO3t5Yr |via=YouTube }}{{cbignore}}

[[Kategorija:Diferencijalni račun]]
[[Kategorija:Teoreme u analizi]]
[[Kategorija:Multivarijabilni račun]]
[[Kategorija:Diferencijalna topologija]]
[[Kategorija:Algebarska geometrija]]