Izvorni kôd stranice Gaussova konstanta

U [[matematika|matematici]], '''Gaussova konstanta''',<ref>{{Cite web|url=https://mathworld.wolfram.com/|title=Gauss's Constant|last=Weisstein|first=Eric W.|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=14. 7. 2024}}</ref> oznake ''G'', se definiše kao [[recipročno|recipročna vrijednost]] [[aritmetičko-geometrijska sredina|aritmetičko-geometrijske sredine]] od [[1 (broj)|1]] i [[kvadratni korijen od 2|kvadratnog korijena od 2]]:

: <math> G = \frac{1}{\mathrm{agm}(1, \sqrt{2})} = 0.8346268\dots</math>

[[Mathmatička konstanta|Konstanta]] je dobila naziv po [[Carl Friedrich Gauss|Carlu Friedrichu Gaussu]], koji je dana [[30. maj]]a [[1799]]. godine otkrio da je

: <math> G = \frac{2}{\pi}\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1 - x^4}} </math>

tako da je

: <math> G = \frac{1}{2\pi}\beta(\begin{matrix} \frac{1}{4}\end{matrix}, \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix})</math>

gdje &beta; označava [[beta funkcija|beta funkciju]].

== Veze sa drugim konstantama ==

Gaussova konstanta može se koristiti kao izraz zatvorenog oblika za [[Gama funkcija|gama funkciju]] za [[partikularne vrijednosti gama funkcije|argument 1/4]]:

: <math> \Gamma( \begin{matrix} \frac{1}{4} \end{matrix}) = \sqrt{ 2G \sqrt{ 2\pi^3 } } </math>

a pošto su &pi; i &Gamma;(1/4) [[algebarska nezavisnost|algebarski nezavisne]], Gaussova konstanta je [[transcendentalan broj|transcendentalna]].

== Druge formule ==

Formula za ''G'' preko [[teta funkcija|Jacobijevih teta funkcija]] data je sa

: <math>G = \vartheta_{01}^2(e^{-\pi}) </math>

kao i red koji brzo konvergira

: <math>G = \sqrt[4]{32}e^{-\frac{\pi}{3}}\left (\sum_{n = -\infty}^{\infty} (-1)^n e^{-2n\pi(3n+1)} \right )^2.</math>

Kontanta se može dati i preko [[beskonačni proizvod|beskonačnog proizvoda]]

:<math>G = \prod_{m = 1}^\infty \tanh^2 \left( \frac{\pi m}{2}\right).</math>

Gaussova konstanta ima [[neprekidni razlomak]] [0, 1, 5, 21, 3, 4, 14, ...].

[[Datoteka:Lemniscate_of_Bernoulli.svg|mini|Lemniskata Bernulija]]
U [[Matematika|matematici]], '''konstanta lemniskate''' {{Mvar|ϖ}}<ref>{{Cite book|last=Gauss|first=C. F.|url=https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN235999628|title=Werke (Band III)|publisher=Herausgegeben der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen|year=1866|language=Latin, German}} p. 404</ref>{{Sfn|Cox|1984}}<ref name="EL">{{Cite book|last=Eymard|first=Pierre|title=The Number Pi|url=https://archive.org/details/numberpi0000eyma|last2=Lafon|first2=Jean-Pierre|publisher=American Mathematical Society|year=2004|isbn=0-8218-3246-8}} p. 199</ref><ref>{{Cite book|last=Bottazzini|first=Umberto|title=Hidden Harmony – Geometric Fantasies: The Rise of Complex Function Theory|last2=Gray|first2=Jeremy|date=2013|publisher=Springer|isbn=978-1-4614-5724-4|doi=10.1007/978-1-4614-5725-1|author-link=Umberto Bottazzini|author-link2=Jeremy Gray}} p. 57</ref><ref>{{Cite book|last=Arakawa|first=Tsuneo|title=Bernoulli Numbers and Zeta Functions|last2=Ibukiyama|first2=Tomoyoshi|last3=Kaneko|first3=Masanobu|publisher=Springer|year=2014|isbn=978-4-431-54918-5}} p. 203</ref> je [[Transcendentalni broj|transcendentalna]] matematička konstanta koja je omjer [[Perimetar|perimetra]] [[Bernoullijeva lemniskata|Bernoullijeve lemniskate]] i njenog [[prečnik]]a, analogno definiciji [[Pi|{{Pi}}]] za kružnicu. Ekvivalentno, perimetar lemniskate <math>(x^2+y^2)^2=x^2-y^2</math> je {{Math|2''ϖ''}}. Lemniskatna konstanta je blisko povezana sa [[Lemniskatne eliptičke funkcije|lemniskatnim eliptičkim funkcijama]] i približno je jednaka 2,62205755.<ref name="Finch">{{Cite book|last=Finch|first=Steven R.|url=https://books.google.com/books?id=Pl5I2ZSI6uAC|title=Mathematical Constants|date=18. 8. 2003|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-81805-6|page=420|language=en}}</ref><ref>{{Citation|title=Applications of generalized trigonometric functions with two parameters|last=Kobayashi|first=Hiroyuki|last2=Takeuchi|first2=Shingo|website=Communications on Pure & Applied Analysis|year=2019|pages=1509–1521}}</ref><ref>{{Citation|title=Elliptic Gauss Sums and Hecke L-values at s=1|last=Asai|first=Tetsuya|year=2007}}</ref><nowiki><ref>{{Cite web|url=http://</nowiki>

== Reference ==
{{Refspisak}}
== Vanjski linkovi ==

* {{mathWorld|urlnaziv=GausssConstant|naslov=Gaussova konstanta}}
* http://oeis.org/A014549
* http://oeis.org/A062539
{{Normativna kontrola}}

[[Kategorija:Matematičke konstante]]
[[Kategorija:Transcendentalni brojevi]]