Linearna algebra

U trodimenzionalnom Euklidovom prostoru, ove tri ravni predstavljaju rješenja linearnih jednačina, a njigov presjek predstavlja skup zajedničkih rješenja: u ovom slučaju jedinstvenu tačku. Plava linija je zajedničko rješenje za dvije jednačine.

Linearna algebra je grana matematike koja se bavi linearnim jednačinama kao što je:

$a_1{x}_1+\cdots +a_n{x}_n=b,$

linearnim preslikavanjen kao što je:

$(x_1,\dots ,x_n)\mapsto a_1{x}_1+\cdots +a_n{x}_n,$

i njihovim prikazom u vektorskim prostorima i uz pomoć matrica.

Linearna algebra je centralna u gotovo svim oblastima matematike. Na primjer, linearna algebra je fundamentalna u modernim prezentacijama geometrije, uključujući definisanje osnovnih objekata kao što su prave, ravni i rotacije. Funkcionalna analiza, grana matematičke analize, također se može posmatrati kao primjena linearne algebre na prostore funkcija.

Linearna algebra se također koristi u većini nauka i oblasti inženjerstva, jer omogućava modeliranje mnogih prirodnih fenomena i efikasno računanje s takvim modelima. Za nelinearne sisteme, koji ne mogu biti modelirani s linearnom algebrom, često se koristi za rad s aproksimacijama prvog reda, koristeći činjenicu da je diferencijal multivarijantne funkcije u tački linearno preslikavanje koje najbolje aproksimira tu funkciju u blizini te tačke.

Historija

Procedura (koristeći štapove za brojanje) za rješavanje simultanih linearnih jednačina koja se sada naziva Gaussova eliminacija pojavljuje se u drevnom kineskom matematičkom tekstu Osmo poglavlje: Pravokutni nizovi iz Devet poglavlja o matematičkoj umjetnosti. Njegova upotreba je ilustrovana u osamnaest zadataka, sa dvije do pet jednačina.

Sistemi linearnih jednačina nastali su u Evropi 1637. kada je René Descartes uveo koordinate u geometriju. U stvari, u ovoj novoj geometriji koja se sada zove Descartesova geometrija, prave i ravni su predstavljene linearnim jednačinama, a izračunavanje njihovih presjeka predstavlja rješavanje sistema linearnih jednačina.

Prve sistematske metode za rješavanje linearnih sistema koristile su determinante i prvi ih je razmatrao Leibniz u 1693. Gabriel Cramer ih je 1750. koristio za davanje eksplicitnih rješenja linearnih sistema, sada nazvanih Cramerovo pravilo. Kasnije je Gauss dalje opisao metodu eliminacije, koja je u početku bila navedena kao napredak u geodeziji.

Hermann Grassmann je 1844. objavio svoju "Teoriju ekstenzije" koja je uključivala temeljne nove teme onoga što se danas zove linearna algebra. James Joseph Sylvester je 1848. uveo termin matrica, što je latinska riječ za matericu.

Linearna algebra je rasla s idejama zabilježenim u kompleksnoj ravni. Na primjer, dva broja Šablon:Mvar i Šablon:Mvar u $ℂ$ imaju razliku Šablon:Math, a segmenti pravih Šablon:Math i Šablon:Math su iste dužine i smjera. Segmenti su ekvipolentni. Četvorodimenzionalni sistem kvaterniona $ℍ$ započet je 1843. Termin vektor je uveden kao Šablon:Math što predstavlja tačku u prostoru. Kvaterniona razlika Šablon:Math također proizvodi segment ekvipolentan Šablon:Math. Drugi hiperkompleksni brojevni sistemi su takođe koristili ideju o linearnom prostoru s bazom.

Arthur Cayley je 1856. uveo množenje matrica i inverznu matricu, čime je omogućena opća linearna grupa. Mehanizam grupne reprezentacije postao je dostupan za opisivanje kompleksnih i hiperkompleksnih brojeva. Velikog značaja je imalo to što je Cayley koristio jedno slovo da označi matricu, tretirajući je tako kao zbirni objekat. Također je shvatio vezu između matrica i determinanti, te je napisao: "Moglo bi se reći mnogo stvari o ovoj teoriji matrica koja bi, čini mi se, trebala prethoditi teoriji determinanti".

Benjamin Peirce je objavio svoju Linearnu asocijativnu algebru (1872), a njegov sin Charles Sanders Peirce kasnije je proširio taj rad.

Telegraf je zahtijevao sistem objašnjenja, a publikacija Traktata o elektricitetu i magnetizmu iz 1873. uvela je teoriju polja sila i zahtijevala je diferencijalnu geometriju za izražavanje. Linearna algebra je ravna diferencijalna geometrija i služi u tangentnim prostorima na mnogostrukosti. Elektromagnetske simetrije prostor-vremena izražene su Lorentzovim transformacijama, a veći dio historije linearne algebre je historija Lorentzovih transformacija.

Prvu modernu i precizniju definiciju vektorskog prostora uveo je Peano 1888; do 1900. pojavila se teorija linearnih transformacija konačno-dimenzionalnih vektorskih prostora. Linearna algebra je dobila svoj savremeni oblik u prvoj polovini dvadesetog stoljeća, kada su mnoge ideje i metode iz prethodnih stoljeća generalizovane kao apstraktna algebra. Razvoj računara doveo je do povećanog istraživanja efikasnih algoritama za Gaussovu eliminaciju i dokmpoziciu matrica, a linearna algebra je postala suštinski alat za modeliranje i simulacije.

Vektorski prostori

Šablon:Glavni Sve do 19. stoljeća, linearna algebra se prvenstveno prikazivala kroz sisteme linearnih jednačina i matrice. U modernoj matematici općenito se preferira prezentacija kroz vektorske prostore, budući da je više sintetička, opštija (nije ograničena na slučaj konačnih dimenzija) i konceptualno jednostavnija, iako apstraktnija.

Vektorski prostor nad poljem Šablon:Math (često polje realnih brojeva) je skup Šablon:Math opremljen s dvije binarne operacije koje zadovoljavaju sljedeće aksiome. Elementi iz Šablon:Math nazivaju se vektori, a elementi iz F nazivaju se skalarima. Prva operacija, sabiranje vektora, uzima bilo koja dva vektora Šablon:Math i Šablon:Math i daje kao rezultat treći vektor Šablon:Math. Druga operacija, skalarno množenje, uzima bilo koji skalar Šablon:Math i bilo koji vektor Šablon:Math i daje kao rezultat novi vektor Šablon:Nowrap. Aksiomi koje sabiranje i skalarno množenje moraju zadovoljiti su sljedeći. (U spisku ispod, Šablon:Math i Šablon:Math su proizvoljni elementi od Šablon:Math, a Šablon:Math i Šablon:Math su proizvoljni skalari u polju Šablon:MathŠablon:Math.)

Aksiom	Značenje
Asocijativnost sabiranja	Šablon:Math
Komutativnost sabiranja	Šablon:Math
Neutralni element sabiranja	Postoji element Šablon:Math u Šablon:Math, koji se naziva nulti vektor (ili jednostavno nula), takav da je Šablon:Math za sve Šablon:Math u Šablon:Math.
Inverzni elementi sabiranja	Za svako Šablon:Math u Šablon:Math, postoji element Šablon:Math u Šablon:Math, koji se naziva zbirni inverz od Šablon:Math, takav da je Šablon:Math
Distributivnost skalarnog množenja u odnosu na sabiranje vektora	Šablon:Math
Distributivnost skalarnog množenja u odnosu na sabiranje polja	Šablon:Math
Kompatibilnost skalarnog množenja s množenjem polja	Šablon:Math Šablon:Efn
Neutralni element skalarnog množenja	Šablon:Math, gdje Šablon:Math označava multiplikacijski identitet od Šablon:Mvar.

Prva četiri aksioma znače da je Šablon:Math abelova grupa pod sabiranjem.

Element određenog vektorskog prostora može imati različitu prirodu; na primjer, to može biti niz, funkcija, polinom ili matrica. Linearna algebra se bavi onim svojstvima takvih objekata koja su zajednička svim vektorskim prostorima.

Linearna preslikavanja

Šablon:Glavni Linearna preslikavanja su preslikavanja između vektorskih prostora koja zadržavaju strukturu vektorskog prostora. Za dva vektorska prostora Šablon:Math i Šablon:Math u polju Šablon:Mvar, linearno preslikavanje (također u određenim kontekstima nazvano linearna transformacija ili linearno mapiranje)

$T:V\to W$

je kompatibilno sa sabiranjem i skalarnim množenjem

$T(𝐮+𝐯)=T(𝐮)+T(𝐯),T(a𝐯)=aT(𝐯)$

za bilo koje vektore Šablon:Math iz Šablon:Math i skalar Šablon:Math iz Šablon:Mvar.

Ovo implicira da za bilo koje vektore Šablon:Math iz Šablon:Math i skalare Šablon:Math iz Šablon:Mvar vrijedi

$T(a𝐮+b𝐯)=T(a𝐮)+T(b𝐯)=aT(𝐮)+bT(𝐯)$

Kada su Šablon:Math isti vektorski prostori, linearno preslikavanje Šablon:Math je također poznato i kao linearni operator na Šablon:Mvar.

Bijektivno linearno preslikavanje između dva vektorska prostora (to jest, svaki vektor iz drugog prostora je pridružen tačno jednom vektoru iz prvog) je izomorfizam. Pošto izomorfizam zadržava linearnu strukturu, dva izomorfna vektorska prostora su "u suštini ista" s tačke gledišta linearne algebre, u smislu da se ne mogu razlikovati korištenjem svojstava vektorskog prostora. Bitno pitanje u linearnoj algebri je testiranje da li je linearno preslikavanje izomorfizam ili ne, i, ako nije izomorfizam, pronalaženje njegove slike (ili opsega) i skupa elemenata koji su preslikani u nulti vektor, koji se naziva jezgro preslikavanja. Sva ova pitanja mogu se riješiti korištenjem Gaussove eliminacije ili neke varijante ovog algoritma.

Podprostori, raspon i baza

Šablon:Glavni Proučavanje podskupova vektorskih prostora koji su sami po sebi vektorski prostori pod indukovanim operacijama je fundamentalno, slično kao i za mnoge matematičke strukture. Ovi podskupovi se nazivaju linearni podprostori. Preciznije, linearni podprostor vektorskog prostora Šablon:Mvar nad poljem Šablon:Mvar je podskup Šablon:Mvar od Šablon:Mvar takav da su Šablon:Math i Šablon:Math, za svako Šablon:Math, Šablon:Math u Šablon:Mvar i svako Šablon:Mvar u Šablon:Mvar. (Ovi uslovi su dovoljni za impliciranje da je Šablon:Mvar vektorski prostor.)

Na primjer, ukoliko imamo linearno preslikavanje Šablon:Math, slika Šablon:Math od Šablon:Mvar i inverzna slika Šablon:Math (nazvana jezgro ili nulti prostor), predstavljaju linearne podprostore Šablon:Mvar i Šablon:Mvar.

Drugi važan način formiranja podprostora je razmatranje linearnih kombinacija skupa vektora Šablon:Mvar: skup svih zbirova

$a_1{𝐯}_1+a_2{𝐯}_2+\cdots +a_k{𝐯}_k,$

gdje Šablon:Math iz Šablon:Mvar i Šablon:Math iz Šablon:Mvar formiraju linearni podprostor koji se naziva raspon od Šablon:Mvar. Raspon od Šablon:Mvar je također presjek svih linearnih podprostora koji sadrže Šablon:Mvar. Drugim riječima, to je najmanji (za relaciju inkluzije) linearni podprostor koji sadrži Šablon:Mvar.

Skup vektora je linearno nezavisan ako nijedan nije u rasponu od ostalih. Ekvivalentno tome, skup vektora Šablon:Mvar je linearno nezavisan ako je jedini način da se nulti vektor izrazi kao linearna kombinacija elemenata od Šablon:Mvar da se uzme nula za svaki koeficijent Šablon:Mvar.

Skup vektora koji obuhvata vektorski prostor naziva se rasponski skup ili generirajući skup. Ako je rasponski skup Šablon:Mvar linearno ovisan (koji nije linearno nezavisan), tada je neki element Šablon:Math od Šablon:Mvar u rasponu ostalih elemenata iz Šablon:Mvar, a raspon bi ostao isti ako se ukloni Šablon:Math iz Šablon:Mvar. Može se nastaviti sa uklanjanjem elemenata iz Šablon:Mvar sve dok se ne dobije linearno nezavisan rasponski skup. Takav linearno nezavisan skup koji obuhvata vektorski prostor Šablon:Mvar naziva se baza od Šablon:Math. Važnost baza leži u činjenici da su one istovremeno minimalni generirajući skupovi i maksimalni nezavisni skupovi. Preciznije, ako je Šablon:Mvar linearno nezavisan skup, a Šablon:Mvar rasponski skup takav da je Šablon:Math, onda postoji baza Šablon:Mvar takva da je Šablon:Math.

Bilo koje dvije baze vektorskog prostora Šablon:Math imaju istu kardinalnost, koja se zove dimenzija od Šablon:Math; ovo je dimenzijska teorema za vektorske prostore. Štaviše, dva vektorska prostora nad istim poljem Šablon:Mvar su izomorfna ako i samo ako imaju istu dimenziju.

Ako bilo koja baza od Šablon:Math (a samim tim i svaka baza) ima konačan broj elemenata, Šablon:Math je konačno-dimenzionalni vektorski prostor. Ako je Šablon:Math podprostor od Šablon:Math, onda je Šablon:Math. U slučaju kada je Šablon:Math konačno-dimenzionalan, jednakost dimenzija implicira da je Šablon:Math.

Ako su Šablon:Math i Šablon:Math podprostori od Šablon:Math, onda

$\dim (U_1+U_2)=\dim U_1+\dim U_2-\dim (U_1\cap U_2),$

gdje Šablon:Math označava raspon od Šablon:Math.

Matrice

Šablon:Glavni Matrice dozvoljavaju eksplicitnu manipulaciju konačno-dimenzionalnih vektorskih prostora i linearnih preslikavanja. Stoga je njihova teorija bitan dio linearne algebre.

Neka je Šablon:Mvar konačno-dimenzionalni vektorski prostor nad poljem Šablon:Math i neka je Šablon:Math baza od Šablon:Math (dakle, Šablon:Mvar je dimenzija od Šablon:Math). Po definiciji baze, preslikavanje

$\begin{array}{cc}(a_1,\dots ,a_m)& \mapsto a_1{𝐯}_1+\cdots a_m{𝐯}_m\\ F^m& \to V\end{array}$

je bijekcija od Šablon:Math, skupa nizova od Šablon:Mvar elemenata od Šablon:Mvar, na Šablon:Mvar. Ovo je izomorfizam vektorskih prostora, ako je Šablon:Math opremljen svojom standardnom strukturom vektorskog prostora, gdje se sabiranje vektora i skalarno množenje obavljaju komponentu po komponentu.

Ovaj izomorfizam omogućava predstavljanje vektora njegovom inverznom slikom pod ovim izomorfizmom, odnosno koordinatnim vektorom Šablon:Math ili kolonskom matricom

$\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ ⋮\\ a_m\end{array}\right].$

Ako je Šablon:Mvar još jedan konačno-dimenzionalni vektorski prostor (moguće isti), s bazom Šablon:Math, linearno preslikavanje Šablon:Mvar od Šablon:Mvar na Šablon:Mvar je dobro definisano svojim vrijednostima na elementima baze, tj. Šablon:Math. Dakle, Šablon:Mvar je dobro predstavljen spiskom odgovarajućih kolonskih matrica. Odnosno, ako je

$f(w_j)=a_{1,j}{v}_1+\cdots +a_{m,j}{v}_m,$

za Šablon:Math, tada je Šablon:Mvar predstavljeno matricom

$\left[\begin{array}{ccc}{a}_{1,1}& \cdots & a_{1,n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m,1}& \cdots & a_{m,n}\end{array}\right],$

sa Šablon:Mvar redova i Šablon:Mvar kolona.

Množenje matrice je definisano na način da je proizvod dvije matrice matrica sastavljena od odgovarajućih linearnih preslikavanja, a proizvod matrice i kolonske matrice je kolonska matrica koja predstavlja rezultat primjene predstavljenog linearnog preslikavanja na predstavljeni vektor. Iz toga slijedi da su teorija konačno-dimenzionalnih vektorskih prostora i teorija matrica dva različita jezika za izražavanje potpuno identičnih koncepata.

Dvije matrice koje kodiraju istu linearnu transformaciju u različitim bazama nazivaju se sličnim. Može se dokazati da su dvije matrice slične ako i samo ako jedna može transformirati jednu u drugu pomoću elementarnih operacija reda i kolona. Za matricu koja predstavlja linearno preslikavanje od Šablon:Mvar na Šablon:Mvar, operacije redova odgovaraju promjeni baza u Šablon:Mvar, a operacije kolona odgovaraju promjeni baza u Šablon:Mvar. Svaka matrica je slična jediničnoj matrici koja je moguće omeđena redovima nula i kolonama nula. U smislu vektorskih prostora, to znači da za bilo koje linearno preslikavanje od Šablon:Mvar na Šablon:Mvar postoje baze takve da je dio baze od Šablon:Mvar preslikan bijektivno na dio baze od Šablon:Mvar, a da se preostali elementi baze od Šablon:Mvar, ako ih ima, preslikavaju na nulu. Gaussova eliminacija je osnovni algoritam za pronalaženje ovih elementarnih operacija i dokazivanje ovih rezultata.

Linearni sistemi

Šablon:Glavni Konačan skup linearnih jednačina u konačnom skupu varijabli, na primjer, Šablon:Math, ili Šablon:Math naziva se sistem linearnih jednačina ili linearni sistem.

Sistemi linearnih jednačina čine fundamentalni dio linearne algebre. Historijski gledano, linearna algebra i teorija matrica su razvijene za rješavanje takvih sistema. U modernoj prezentaciji linearne algebre kroz vektorske prostore i matrice, mnogi problemi se mogu tumačiti u pojmovima linearnih sistema.

Na primjer, neka je Šablon:NumBlk linearni sistem.

Takav sistem se može napisati u obliku matrice

$M=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ -3& -1& 2\\ -2& 1& 2\end{array}\right].$

i vektora njegovih desnih članova

$𝐯=\left[\begin{array}{c}8\\ -11\\ -3\end{array}\right].$

Neka je Šablon:Mvar linearna transformacija matrice Šablon:Mvar. Rješenje sistema (Šablon:EquationNote) je vektor

$𝐗=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$

tako da je

$T(𝐗)=𝐯,$

element predpreslikavanja vektora Šablon:Mvar od Šablon:Mvar.

Neka je (Šablon:EquationNote) homogeni sistem, gdje su desne strane jednačina jednake nuli:

Rješenja od (Šablon:EquationNote) su upravo elementi jezgra od Šablon:Mvar ili, ekvivalentno, Šablon:Mvar.

Gaussova eliminacija se sastoji od izvođenja elementarnih operacija reda na proširenoj matrici

$\left[\begin{array}{cc}M& 𝐯\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}2& 1& -1& 8\\ -3& -1& 2& -11\\ -2& 1& 2& -3\end{array}\right]$

kako bi se stavila u reduciranu formu ešalona reda. Ove operacije reda ne mijenjaju skup rješenja sistema jednačina. U primjeru, reducirana forma ešalona je

$\left[\begin{array}{cc}M& 𝐯\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 2\\ 0& 1& 0& 3\\ 0& 0& 1& -1\end{array}\right],$

što pokazuje da sistem (Šablon:EquationNote) ima jedinstveno rješenje

$\begin{array}{cc}x& =2\\ y& =3\\ z& =-1.\end{array}$

Iz ove matrične interpretacije linearnih sistema proizilazi da se iste metode mogu primijeniti za rješavanje linearnih sistema i za mnoge operacije na matricama i linearnim transformacijama, koje uključuju izračunavanje rangova, jezgara, inverza matrica.

Također pogledajte

• Linearno programiranje

Vanjski linkovi

Online resursi

• MIT - video predavanja o linearnoj algebri, serija od 34 snimljena predavanja profesora Gilberta Stranga (proljeće 2010)
• Međunarodna zajednica linearne algebre Šablon:Webarchive
• Šablon:Springer
• Linearna algebra na MathWorldu
• Pojmovi linearne algebre na Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics
• Suština linearne algebre, video prezentacija 3Blue1Brown-a o osnovama linearne algebre s naglaskom na vezu između geometrije, matrica i apstraktne tačke gledišta

Online knjige

• Šablon:Cite book
• Šablon:Cite book
• Šablon:Cite book
• Šablon:Cite book
• Šablon:Cite book
• Sharipov, Ruslan, Course of linear algebra and multidimensional geometry
• Treil, Sergei, Linear Algebra Done Wrong