Heronova trojka

Za uređenu trojku $(a,b,c)$ prirodnih brojeva kažemo da je Heronova ako trougao čije stranice imaju dužine a, b i c ima cjelobrojnu površinu. Smatračemo podudarnim Heronove trojke koje se dobijaju jedna iz druge permutacijom

Neki primjeri Heronovih trojki su: $(3,4,5)$, $(5,5,6)$, $(13,14,15)$, $(11,13,20)$

Heronova trojka koja je aritmetički niz

Neka je $(a,b,c)$ Heronova trojka koja je ujedno i rastući aritmetički niz.

Tada je $a=b-d$ ¡ $c=b+d$, $d\in N$, pa je prema Heronovom obrascu

$P=\sqrt{\frac{3b}{2}*\frac{b-2d}{2}*\frac{b}{2}*\frac{2b+2d}{2}}=>3b^2(b^2-4d^2=16P^2$

Smjenom $P=\frac{1}{2}b{h}_b$ i skračivanjem sa $b^2$ dobijamo

$3b^2(b^2-4d^2)=4{h_b}^2$

Kako je $b$ parno $b=2m$ za $m\in N$ dobijamo

$3(m^2-d^2)=4{h_b}^2$

Da bi rješenja bila iz skupa prirodnih brojeva mora biti

Za $k=1$

$(m-d)(m+d)=3$

$m-d=1$

$m+d=3$

pa je

$m=2$ , $d=1$ i $b=4$. Dobili smo trojku ($3,4,5)$ koja je osnovna Pitagorina trojka

Za $k=2$ dobijamo trojku ($6,8,10)$ ujedno je i Pitagorina

Za $k=3$ dobijamo trojku ($9,12,15)$ i $(5,28,41)$

Za $k=4$ dobijamo trojku ($15,26,37)$, $(12,16,20)$ i $(13,14,15)$

Prave Heronove trojke

Ako su brojevi u Heronovoj trojci uzajamno prosti i ako ne čine Pitagorinu trojku, kazemo da je Heronova trojka prava. Odredimo uslove pri kojima se iz rješenja jednačine

$m^2-d^2=3k^2$ za $k\in N$ dobijaju prave Heronove trojke.

U slučaju da je vrijednost izraza $m^2-d^2$ neparno $NZD(m-d,m+d)=1$

U slučaju da je vrijednost izraza $m^2-d^2$ parno $NZD(m-d,m+d)=2$

Neka je $NZD(m-d,m+d)=p>=2$

Ako je $p$ parno onda je $p=2i$ za $i\in N$ i $i>1$

$m-d=2iq$

$m-d=2ir$ za $r>q$ i $r,q\in N$

$b=2i(q+r)$

$d=i(r-q)$

$a=b-d=i(3q+r)$

$c=b+d=i(q+3r)$

Brojevi $a$, $b$, $c$, $d$ nisu uzajamno prosti

Heronove trojke sa uzastopnim članovima

Poseban slucaj jednačine

$m^2-d^2=3k^2$ za $k\in N$ se dobija za $d=1$. On se odnosi na Heronove trojke koje čine aritmetički niz sa razlikom 1, tj. niz tri uzastopna prirodna broja. U tom slučaju dobija se

$m^2-1=3k^2$

Osnovno rješenje je $(m_1,l_1)=(2,1)$, jer je $(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{2})=1$

$(m_n-k_n\sqrt{3})(m_n+k_n\sqrt{3})=(2-\sqrt{3}{)}^n(2+\sqrt{3}{)}^n=1$ za $n\in N$

$m_n=2^n+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})2^{n-2}(\sqrt{3}{)}^2+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{4})2^{n-4}(\sqrt{3}{)}^4+...$

Kako je $b_n=2m_n$ imamo

$b_n=\sum _{i=0}^n(1+(-1{)}^i)*(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})*2^{n-i}*3^{i/2}=(2+\sqrt{3}{)}^n(2-\sqrt{3}{)}^n$

što je uslov $a_n=b_n-1$ i $c_n=b_n+1$ daje niz Heronovih trojki (a_n, b_n, c_n) čiji su članovi tri uzastopna prirodna broja.

U sljedećoj tabeli dato je prvih pet Heronovih trojki definisanih na ovaj nacin

n	$a_n$	$b_n$	$c_n$	$O_n$
1	3	4	5	6
2	13	14	15	84
3	51	52	53	1170
4	193	194	195	16296
5	723	724	725	226974

Rekurentna formula za niz površina Heronovih trouglova

Posmatrajući posllednju kolonu prethodne tabele, empirijskom indukcijom može se zaključiti da važi formula

$P_{n+2}=14P_{n+1}-P_n$

Neka je $nN$ i $b_n$ srednja po veličini stranica n-tog Heronovog trougla kome su dužine stranica tri uzastopna prirodna broja. Primjenom Heronove formule može se izraziti niz površina $P_n$ tih trouglova u funkciji od $b_n$.

Nije teško utvrditi da je

$P_n=\frac{\sqrt{3}}{4}{b}_n\sqrt{{b_n}^2-4}$

Za $b_n=(2+\sqrt{3}{)}^n+(2-\sqrt{3}{)}^n$ dobijamo

$P_n=\frac{\sqrt{3}}{4}((7+4\sqrt{3}{)}^n-(7-4\sqrt{3}{)}^n))$

$14P_{n+1}-P_n=14*\frac{\sqrt{3}}{4}((7+4\sqrt{3}{)}^{n+1}-(7-4\sqrt{3}{)}^{n+1}-\frac{\sqrt{3}}{4}((7+4\sqrt{3}{)}^n-(7-4\sqrt{3}{)}^n)=$

$\frac{\sqrt{3}}{4}((7+4\sqrt{3}{)}^{n+2}-(7-4\sqrt{3}{)}^{n+2})$

Reference

HERONOVE TROJKE KAO ARITMETIČKI NIZOVI