Množenje

• 
  3x4=12

Množenje je jedna od četiri osnovne računske operacije u aritmetici. Množenje prirodnih brojeva predstavlja njihovo ponovljeno sabiranje.

$\begin{array}{c}\underbrace{b+b+\cdots +b}\\ a\end{array}=\sum _{i=1}^{a}b=a\cdot b$

$a$ i $b$ se nazivaju faktori. Rezultat, „a puta b“, se naziva proizvod.

Množenje viže uzastopnih brojeva

Pri množenju više brojeva se koristi slovo Π iz grčkog alfabeta :

$3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot 11=\prod _{i=1}^5(2i+1)=10395$

ili

$\frac{3}{1}\cdot \frac{4}{2}\cdot \frac{5}{3}\cdot \dots \cdot \frac{n+2}{n}=\prod _{i=1}^n\frac{i+2}{i}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$

Postoji i specijalni slučaj množenja prirodnih brojeva - faktorijel

$1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots \cdot n=\prod _{i=1}^{n}i=n!$

Primjeri

$\prod _{i=1}^{4}i=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24$

$\prod _{i=1}^{6}i=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6=720$

Odnosno imamo da je

$\prod _{i=m}^n{x}_i=x_m\cdot x_{m+1}\cdot x_{m+2}\cdot \cdots \cdot x_{n-1}\cdot x_n$

Ponovljeno množenje istih faktora zamjenjujemo potenciranjem

$2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^6=64$

Notacija

malo

Npr. pišemo 3 · 4 za 4 + 4 + 4. To se čita „tri puta četiri“.

Umjesto 3 · 4 nekad se piše 3 × 4. U računarskim programima se često koristi znak *. Pri množenju varijabli možemo pisati npr. (5x, xy).

Suprotna operacija je dijeljenje.

Osobine množenja

• Zakon asocijativnosti: $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c=a\cdot b\cdot c$
• Zakon komutativnosti: $a\cdot b=b\cdot a$
• Zakon distributivnosti: $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$
• Neutralni element: $a\cdot 1=a$
• Inverzni element: $a\cdot a^{-1}=1$
• Nulti element: $a\cdot 0=0\cdot a=0$

U skupu racionalnih, realnih i kompleksnih brojeva, svaki broj osim nule ima tačno jedan inverzan broj.

$\mathrm{\forall }a{\mathrm{\exists }}_{1}b:a\cdot b=1$

Inverzan broj broja $a$ je $\frac{1}{a}$. Inverzan broj inverznog broja $a$ je broj $a$

$\frac{1}{\frac{1}{a}}=a$

Množenje kroz skupove

Cijeli brojevi

Ako su u skupu cijelih brojeva faktori istog znaka proizvod je pozitivan, a ako su različitih predznaka onda je negativan.

$(-1)*a=a*(-1)=-a$

$(-1)(-1)=1$

Racionalni brojevi

Proizvod racionalnih brojeva je racionalan broj kome je brojilac proizvod brojilaca faktora, a imenilac proizvod imenilaca faktora

$a=\frac{p_1}{q_1}\wedge b=\frac{p_2}{q_2}\Rightarrow a\cdot b=\frac{p_1\cdot p_2}{q_1\cdot q_2}$

Iracionalni brojevi

Neka je $b\in R\setminus Q$ iracionalan broj, tada je proizvod $ab$ granična vrednost

$a\cdot b=\underset{\frac{p}{q}\to b}{\lim }a\cdot \frac{p}{q}$

gdje je $\frac{p}{q}$ racionalan broj i predstavlja približnu vrednost broja $b$. kompleksan broj

Kompleksni brojevi

Kompleksan broj $z$ možemo zapisati kao uređeni par ili u trigonometrijskom obliku:

Zbog $i^2=-1$ je

$(a_1,b_1)\cdot (a_2,b_2)=(a_1{a}_2-b_1{b}_2,a_1{b}_2+a_2{b}_1)$.

${\rho }_1(\cos {\varphi }_1+i\sin {\varphi }_1)\cdot {\rho }_2(\cos {\varphi }_2+i\sin {\varphi }_2)={\rho }_1{\rho }_2(\cos ({\varphi }_1+{\varphi }_2)+i\sin ({\varphi }_1+{\varphi }_2))$

Množenje vektora

• $k\in ℝ,𝐚\in {ℝ}^3\Rightarrow k𝐚=(k{a}_x,k{a}_y,k{a}_z)$

(Vektor množimo skalarom tako što se svaka njegova koordinata pomnoži skalarom. Ova operacija je komutativna)

• $𝐚,𝐛\in {ℝ}^3$

$\cdot :{ℝ}^3\times {ℝ}^3\to ℝ$

$𝐚\cdot 𝐛=a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z$

(Skalarni proizvod vektora je skalar jednak zbiru proizvoda odgovarajućih koordinata)

• $\times :{ℝ}^3\times {ℝ}^3\to {ℝ}^3$

$𝐚,𝐛\in {ℝ}^3$

$𝐚\times 𝐛=\left|\begin{array}{ccc}𝐢& 𝐣& 𝐤\\ a_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\end{array}\right|$ gdje su $𝐢$, $𝐣$ i $𝐤$jedinični vektori duž x, y i z ose

(Vektorski proizvod vektora je novi vektor, čiji je intenzitet jednak površini paralograma koji vektori-faktori zaklapaju, pravac mu je normalan na ravan koju vektori-faktori definišu, a smjer se definiše pravilom lijeve ili desne ruke, zavisno od konvencije. Ovaj proizvod je specifičan za ${ℝ}^3$, i antikomutativan je. Vektorski proizvod se računa kao determinanta matrice.)

• $[]:{ℝ}^3\times {ℝ}^3\times {ℝ}^3\to ℝ$

$𝐚,𝐛,𝐜\in {ℝ}^3$

$[𝐚,𝐛,𝐜]=\left|\begin{array}{ccc}{a}_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\\ c_x& c_y& c_z\end{array}\right|$ (Mješoviti proizvod tri vektora je skalar koji je jednak zapremini paralelopipeda koji ti vektori zaklapaju. Zapisuje se kao $[a,b,c]$ )

Množenje matrica

Neka su date matrice A i B veličine m_A×nA i mB×nB. Proizvod AB je definisan ako je n_A = m_B, a dobijena matrica ima dimenzije m_A×n_B. Elementi matrice-proizvoda su

$(AB{)}_{i,j}=\sum _{k=1}^{n_A}{A}_{i,k}{B}_{k,j}$

Množenje matrica nije komutativno. Matrice 1×3 i 3×2 možemo pomnožiti samo na jedan način, a 5×4 i 4×5 sa obe strane, ali proizvodi neće imati istu veličinu (5×5 na jedan i 4×4 na drugi način). Ako se pomnože dve kvadratne matrice iste veličine, proizvodi su takođe iste veličine, i može se definisati komutator

$[A,B]=A\times B-B\times A$

Također pogledajte

• Faktorijel

Reference

Multiplication