Kvadratni korijen iz 5

Spisak brojeva - Iracionalni brojevi ζ(3) - $\sqrt{2}$ - φ - √3 - √5 - α - e - π - δ
Binarni	10,0011110001101111...
Decimalni	2,23606797749978969...
Heksadecimalni numerički sistem	2,3C6EF372FE94F82C...
Neprekidni razlomak	$2+\frac{1}{4+\frac{1}{4+\frac{1}{4+\frac{1}{4+\ddots }}}}$

Kvadratni korjen od 5 je pozitivni realan broj koji, kada se pomnoži sa samim sobom, daje prosti broj 5. Ovaj broj pojavljuje se u formuli za zlatni rez. Može se označiti u iracionalnom obliku kao:

$\sqrt{5}.$

On je iracionalni algebarski broj. Prvih šezdeset značajnih decimala njegovog decimalnog proširenja su:

2,23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623 54406 18359 61152 57242 7089... Šablon:OEIS

što se može zaokružiti na 2,236 sa tačnošću od 99,99%. Od aprila 1994. godine, njegova numerička vrijednost u decimalama izračunata je na najmanje jedan milion decimala.

Neprekidni razlomak

Ovaj broj može se izraziti kao neprekidni razlomak [2; 4, 4, 4, 4, 4...] Šablon:OEIS. Niz najboljih racionalnih aproksimacija je:

$\frac{2}{1},\frac{7}{3},\frac{9}{4},\frac{20}{9},\frac{29}{13},\frac{38}{17},\frac{123}{55},\frac{161}{72},\frac{360}{161},\frac{521}{233},\frac{682}{305},\frac{2207}{987},\frac{2889}{1292},\dots$

Konvergenti neprekidnog razlomka napisani su u boji; njihovi brojnici predstavljaju niz Šablon:OEIS url, a njihovi nazivnici niz Šablon:OEIS url. Ostali (neobojeni) članovi su polukonvergenti.

Babilonski metod

Kada se $\sqrt{5}$ izračnava preko Babilonskog metoda, počevši od r₀ = 2, te koristeći r_n+1 = (r_n + 5/r_n) / 2, n-ti aproksimant r_n jednak je 2ⁿ-tom konvergentu konvergentnog niza:

$\frac{2}{1}=2,0;\frac{9}{4}=2,25;\frac{161}{72}=2,23611\dots ;\frac{51841}{23184}=2,2360679779\dots$

Ramanujanovi identiteti

Kvadratni korjen od 5 pojavljuje se u raznim identitetima Ramanujana, uključujući neprekidne razlomke.

Na primjer, imamo slučaj Rogers–Ramanujanovog neprekidnog razlomka:

$\frac{1}{1+\frac{e^{-2\pi }}{1+\frac{e^{-4\pi }}{1+\frac{e^{-6\pi }}{1+\ddots }}}}=(\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}-\frac{\sqrt{5}+1}{2})e^{2\pi /5}=e^{2\pi /5}(\sqrt{\phi \sqrt{5}}-\phi ).$

$\frac{1}{1+\frac{e^{-2\pi \sqrt{5}}}{1+\frac{e^{-4\pi \sqrt{5}}}{1+\frac{e^{-6\pi \sqrt{5}}}{1+\ddots }}}}=(\frac{\sqrt{5}}{1+{[5^{3/4}(\phi -1{)}^{5/2}-1]}^{1/5}}-\phi )e^{2\pi /\sqrt{5}}.$

$4\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x{e}^{-x\sqrt{5}}}{\cosh x}dx=\frac{1}{1+\frac{1^2}{1+\frac{1^2}{1+\frac{2^2}{1+\frac{2^2}{1+\frac{3^2}{1+\frac{3^2}{1+\ddots }}}}}}}.$

Također pogledajte

• Zlatni rez
• Kvadratni korjen
• Kvadratni korjen od 2
• Kvadratni korjen od 3