Hardyjeva nejednakost

Šablon:Siroče Hardyjeva nejednakost je nejednakost u matematici, koja je dobila naziv po G. H. Hardyju. Ona iskazuje da ako je $a_1,a_2,a_3,\dots$ niz nenegativnih realnih brojeva koji nisu identički jednaki nuli, tada, za svaki realan broj p > 1, imamo da je

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\right)}^p<{\left(\frac{p}{p-1}\right)}^p\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n^p.$

Integralna verzija Hardyjeve nejednakosti kaže da ako je f integrabilna funkcija sa nenegativnim vrijednostima, tada je

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{(\frac{1}{x}\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(t)dt)}^p\mathrm{d}x\le {\left(\frac{p}{p-1}\right)}^p\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x{)}^{p}dx.$

Isto važi ako i samo ako je f(x) = 0 skoro svuda.

Hardyjeva nejednakost prvo je objavljena (bez dokaza) 1920. godine u Hardyjevin bilješkama. Originalna formulacija bila je integralna, koja se malo razlikovala od gore nevedenog oblika.

Također pogledajte

• Carlemanova nejednakost

Reference

• Šablon:Cite book

• Šablon:Cite book