Spisak graničnih vrijednosti

Šablon:Nedostaju izvori Šablon:Siroče Ovaj članak je tabela graničnih vrijednosti za neke uobičajne funkcije. Uočite da su a i b konstante po x.

Granične vrijednosti općih funkcija

$\text{Ako je}\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L_1\text{ i }\underset{x\to c}{\lim }g(x)=L_2\text{ , tada je:}$

$\underset{x\to c}{\lim }[f(x)\pm g(x)]=L_1\pm L_2$

$\underset{x\to c}{\lim }[f(x)g(x)]=L_1\times L_2$

$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L_1}{L_2}\text{ ako je }{L}_2\ne 0$

$\underset{x\to c}{\lim }f(x{)}^n=L_1^n\text{ ako je }n\text{ pozitivan cijeli broj }$

$\underset{x\to c}{\lim }f(x{)}^{\frac{1}{n}}=L_1^{\frac{1}{n}}\text{ ako je }n\text{ je pozivitvan cijeli broj i ako je }n\text{ paran, tada je }{L}_1>0$

$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to c}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}\text{ ako je }\underset{x\to c}{\lim }f(x)=\underset{x\to c}{\lim }g(x)=0\text{ ili }\underset{x\to c}{\lim }|g(x)|=+\mathrm{\infty }$ (L'Hôpitalovo pravilo)

Jednostavne funkcije

$\underset{x\to c}{\lim }a=a$

$\underset{x\to c}{\lim }x=c$

$\underset{x\to c}{\lim }ax+b=ac+b$

$\underset{x\to c}{\lim }{x}^r=c^r\text{ ako je }r\text{ pozitivan cijeli broj }$

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{x^r}=+\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{1}{x^r}=\{\begin{array}{cc}-\mathrm{\infty },& \text{ako je }r\text{ neparan}\\ +\mathrm{\infty },& \text{ako je }r\text{ paran}\end{array}$

Logaritamske i eksponencijalne funkcije

$\text{Za }a>1:$

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\log }_{a}x=-\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\log }_{a}x=\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{a}^x=0$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}^x=\mathrm{\infty }$

Trigonometrijske funkcije

$\underset{x\to a}{\lim }\sin x=\sin a$

$\underset{x\to a}{\lim }\cos x=\cos a$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x}=0$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$

$\underset{x\to n^{\pm }}{\lim }\tan (\pi x+\frac{\pi }{2})=\mp \mathrm{\infty }\text{ za svaki cijeli broj }n$

Blizu beskonačnosti

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }N/x=0\text{ za svaki realan N}$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }x/N=\{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty },& N>0\\ \text{ne postoji},& N=0\\ -\mathrm{\infty },& N<0\end{array}$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}^N=\{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty },& N>0\\ 1,& N=0\\ 0,& N<0\end{array}$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{N}^x=\{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty },& N>1\\ 1,& N=1\\ 0,& N<1\end{array}$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{N}^{-x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }1/N^x=0\text{ za svaki }N>1$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[x]{N}=\{\begin{array}{cc}1,& N>0\\ 0,& N=0\\ \text{ne postoji},& N<0\end{array}$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[N]{x}=\mathrm{\infty }\text{ za svaki }N>0$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\log x=\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\log x=-\mathrm{\infty }$

Također pogledajte

• Granična vrijednost
• Granična vrijednost funkcije