Steinerov problem

Steinerov problem je problem pronalaženja maksimuma funkcije

$f(x)=x^{1/x}.$

Problem je dobio naziv po švicarskom matematičaru Jakobu Steineru.

Maksimum je u $x=e$, gdje e označava bazu prirodnog logaritma, a to se može odrediti rješavanjem ekvivalentnog problema pronalaženja maksimuma

$g(x)=\ln f(x)=\frac{\ln x}{x}.$

Derivacija od $g$ iznosi

$g^{\prime }(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}.$

Slijedi da je $g^{\prime }(x)$ pozitivno za $0<x<e$, a negativno za $x>e$, što implicira da $g(x)$ (kao i $f(x)$) raste za $0<x<e$, a opada za $x>e.$ Kao zaključak, možemo raći da je $x=e$ jedinstveni globalni maksimum funkcije $f(x).$

Vanjski linkovi

• https://www.britannica.com/biography/Jakob-Steiner