Zlatna funkcija

Zlatna funkcija

U matematici, zlatna funkcija predstavlja gornju granu hiperbole

$\frac{y^2-1}{y}=x.$

U funkcionalnom obliku,

$y=\mathrm{zlatna}x=\frac{x+\sqrt{x^2+4}}{2}.$

Kada se definiše funkcija zlatna(x), donja grana hiperbole može se definisati kao y = −tlatna(−x). I zlatna(x) i −zlatna(−x) funkcija daju rješenja za a jednačine

$a-x-1/a=0$

ili, ako sve ponomžimo sa a, dobijamo

$a^2-xa-1=0.$

Primjenom kvadratne formule na gornju kvadratnu jednačinu u a pokazuje da je zlatna(x) pozitivan korjen jednačine, a da je −zlatna(−x) negativno rješenje. Vrijednost funkcije zlatna(1) je zlatni rez, a rješenje zlatna(2) daje srebreni rez 1 + √2.

Zlatna funkcije je povezana sa hiperboličkim sinusom preko identiteta

$\mathrm{arsinh}x=\ln (\mathrm{zlatna}2x)$,

te, također, zadovoljava identitet

$\mathrm{zlatna}(x)\cdot \mathrm{zlatna}(-x)=1.$

Također pogledajte

• Hiperbolička funkcija