Kvadratna funkcija

U matematici, kvadratna funkcija je polinomalna funkcija oblika $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , gdje je $a \neq 0$ . Grafik kvadratne funkcije je parabola čija je glavna osa paralelna sa y-osom.

Izraz $a x^{2} + b x + c$ u definiciji kvadratne funkcije je polinom stepena 2 ili polinom drugog stepena, zato što je najveći stepen od $x$ broj 2.

Ako se za kvadratnu funkciju kaže da je jednaka nuli, tada je rezultat kvadratna jednačina. Rješenja ove jednačine nazivaju se korijeni jednačine ili nule funkcije.

Korijeni

Šablon:Glavni

Dva korijena kvadratne jednačine $0 = a x^{2} + b x + c$ , gdje je $a \neq 0$ , su:

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} .$

Ova formula naziva se kvadratna formula.

Neka je $Δ = b^{2} - 4 a c$
Ako je $Δ > 0$ , tada postoje dva različita korijena, pošto je $\sqrt{Δ}$ pozitivan realna broj.
Ako je $Δ = 0$ , tada su dva korijena jednaka, pošto je $\sqrt{Δ}$ nula.
Ako je $Δ < 0$ , tada su dva korijena konjugovano kompleksni brojevi, pošto je $\sqrt{Δ}$ imaginarno.

Ako imamo da je $r_{1} = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ i $r_{2} = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ (ili obrnuto), $a x^{2} + b x + c$ se može napisati kao $a (x - r_{1}) (x - r_{2})$ .

Grafik

Bez obzira na oblik, grafik kvadratne funkcije je parabola (kao što je prethodno pokazano).

Ako je $a > 0$ , parabola je otvorena prema gore.
Ako je $a < 0$ , parabola je otvorena prema dole.

Koeficijent a kontroliše brzinu rasta (ili opadanja) kvadratne funkcije iz tjemena, veći pozitivan broj a čini da funkcija raste brže, te se grafik čini više zatzvorenim.

Koeficijenti b i a zajedno kontrolišu osu simetrije parabole (također i x-koordinatu tjemena parabole).

Koeficijent b je strmost parabole kada ona presjeca y-osu.

Koeficijent c kontroliše visinu parabole, specifičnije, to je tačka gdje parabola presjeca y-osu.

Presjek sa x–osom

Presjeci grafika sa x-osom su isti kao i korijeni kvadratne funkcije (pogledajte iznad).

Tjeme

Tjeme (ili vrh) parabole je mjesto gdje se ona previja, pa se zbog toga naziva i tačka prevoja. Ako je kvadratna funkcija u svom standardnom obliku, tjeme je $(h, k)$ . Metodom potpunog kvadrata, može se opći oblik: $f (x) = a x^{2} + b x + c$ pretvoirti u

f (x) = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a},

tako da će tjeme parabole u općem obliku biti

(- \frac{b}{2 a}, - \frac{Δ}{4 a}) .

Ako je kvadratna funkcija u faktorskom obliku $f (x) = a (x - r_{1}) (x - r_{2})$

srednja vrijednost dva korijena

\frac{r_{1} + r_{2}}{2}

je x-koordinata tjemena, te je tjeme

(\frac{r_{1} + r_{2}}{2}, f (\frac{r_{1} + r_{2}}{2})) .

Tjeme je, također, tačka kasimuma, ako je $a < 0$ ili tačka minumuma, ako je $a > 0$ .

Vertikalna linija

x = h = - \frac{b}{2 a}

koja prolazi kroz tjeme se naziva osa simetrije parabole.

Tačke maksimuma i minimuma

Maksimu ili minimum funkcije se uvijek dobijaju u tjemenu. Izjednačavanjem prve derivacije funkcije sa nulom, dobit ćemo koordinate tjemena. Prednost ovog metoda je ta da se može koristiti i za ostale funkcije.

Ako imamo funkciju

f (x) = a x^{2} + b x + c

koja je jednostavna kvadratna jednačina. Da bi našli njene tačke maksimuma ili minimuma (koje zavise od

a

, ako je

a > 0

, onda ima tačke minimuma, a ako je < 0\,\!</math>, ima tačke maksimuma) moramo prvo naći njenu derivaciju:

f (x) = a x^{2} + b x + c \Leftrightarrow

f^{'} (x) = 2 a x + b

Tada, tražimo korijene od

f^{'} (x)

:

2 a x + b = 0 \Rightarrow

2 a x = - b \Rightarrow

x = - \frac{b}{2 a}

Dakle,

- \frac{b}{2 a}

je

x

vrijednost od

f (x)

. Sada, da bi našli

y

vrijednost, zamijenimo

x = - \frac{b}{2 a}

u

f (x)

:

y = a {(- \frac{b}{2 a})}^{2} + b (- \frac{b}{2 a}) + c \Rightarrow y = \frac{a b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{b^{2}}{2 a} + c \Rightarrow y = \frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{2}}{2 a} + c \Rightarrow

y = \frac{b^{2} - 2 b^{2} + 4 a c}{4 a} \Rightarrow y = \frac{- b^{2} + 4 a c}{4 a} \Rightarrow y = - \frac{(b^{2} - 4 a c)}{4 a} \Rightarrow y = - \frac{Δ}{4 a}

Odavde, tačke maksimuma ili minimuma su:

(- \frac{b}{2 a}, - \frac{Δ}{4 a}) .

Također pogledajte

Vanjski linkovi

Šablon:MathWorld

Kvadratna funkcija

Sadržaj

Korijeni

Grafik

Presjek sa x–osom

Tjeme

Također pogledajte

Vanjski linkovi

Navigacija

Kvadratna funkcija

Korijeni

Grafik

Presjek sa x–osom

Tjeme

Također pogledajte

Vanjski linkovi

Navigacija

Pretraga