Kvadratni korijen iz 2

Kvadratni korijen od 2 jednak je dužini hipotenuze pravouglog trougla sa dužinama kateta 1.

Kvadratni korijen od 2, poznat i po nazivom Pitagorina konstanta, je pozitivni realan broj koji, kada se pomnoži sa samim sobom, daje broj 2.

Geometrijski, kvadratni korijen iz 2 je dužina dijagonale jediničnog kvadrata što slijedi iz Pitagorine teoreme. Pretpostavlja se da je vrijednost kvadratnog korijena iz 2 prvi iracionalanni broj. Njegova numerička vrijednost aproksimira se na 65 decimalnih mjesta Šablon:OEISje:

1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73799...

Kvadratni korijen od 2 se često označava sa

$\sqrt{2}$   ili   √2

ali može se pisati i kao

$2^{1/2}.$

Na kalkulatorima bez funkcije kvadratnog korijena, može se koristiti brza aproksimacija $\frac{99}{70}$ za kvadratni korijen. Iako u nazivniku imamo vrijednost 70, vrijednost koju dobijemo od tačne vrijednosti razlikuje se za manje od 1/10 000.

Spisak brojeva - Iracionalni brojevi ζ(3) - $\sqrt{2}$ - φ - √3 - √5 - α - e - π - δ
Binarni	1.0110101000001001111...
Decinalni	1.4142135623730950488...
Heksadecimalni	1.6A09E667F3BCC908B2F...
Neprekidni razlomak	$1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{\ddots }}}}$

Osobine kvadratnog korijena od dva

Jedna polovina od √2, približno 0,70710 67811 86548, je česta veličina u geometriji i trigonometriji zato što jedinični vektor koji čini ugao od 45° sa osama u ravni ima koordinate

$(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}).$

Ovaj broj zadovoljava

$\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\cos (45^{\circ })=\sin (45^{\circ }).$

Jedna interesantna osobina kvadratnog korijena od dva glasi:

$\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}+1.$

Ovo je rezultat osobine srebrenog reza.

Druga interesantna osobina kvadratnog korijena od dva je:

$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2\cdots }}}=2.$

Kvadratni korijen od dva može se, također, izraziti preko imaginarne jedinice i koristeći samo kvadratni korijen i aritmetičke operacije:

$\frac{\sqrt{i}+i\sqrt{i}}{i}$ i $\frac{\sqrt{-i}-i\sqrt{-i}}{-i}.$

Kvadratni korijen od dva je, također, jedini realan broj čiji je beskonačni tetrat jednak njegovom kvadratu.

${\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{{\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}}}}=2$

Također pogledajte

• Kvadratni korijen od 3
• Kvadratni korijen od 5
• Srebreni rez, 1 + √2

Reference

• Šablon:Cite journal
• Šablon:Cite book
• Šablon:Cite journal
• Gourdon, X. & Sebah, P. Pythagoras' Constant: √2. Includes information on how to compute digits of $\sqrt{2}$.
• Henderson, David W., Square Roots in the Sulbasutra
• Šablon:MathWorld

Vanjski linkovi

• The Square Root of Two to 5 million digits by Jerry Bonnell and Robert Nemiroff. May, 1994.
• Square root of 2 is irrational, a collection of proofs
• √2.net Šablon:Webarchive, enthusiast site with realtime computation