Bernoullijeva diferencijalna jednačina

Šablon:Siroče U matematici, obična diferencijalna jednačina oblika

$y^{\prime }+P(x)y=Q(x)y^n$

naziva se Bernoullijeva diferencijalna jednačina kada je n≠1, 0. Bernoullijeve jednačine su posebne, pošto su one nelinearne diferencijalne jednačine sa poznatim egzaktnim rješenjima. Dijeljenjem sa $y^n$ dobijamo

$\frac{y^{\prime }}{y^n}+\frac{P(x)}{y^{n-1}}=Q(x).$

Zamjenom varijabli pretvaramo je u linearnu diferencijalnu jednačinu prvog reda.

$w=\frac{1}{y^{n-1}}$

$w^{\prime }=\frac{(1-n)}{y^n}{y}^{\prime }$

$\frac{w^{\prime }}{1-n}+P(x)w=Q(x)$

Dobijena jednačina može se riješiti korištenjem integracionog faktora

$M(x)=e^{(1-n)\int P(x)dx}.$

Primjer

Razmatrajmo Bernoullijevu jednačinu

$y^{\prime }-\frac{2y}{x}=-x^2{y}^2$

Dijeljenjem sa $y^2$ dobijamo

$y^{\prime }{y}^{-2}-\frac{2}{x}{y}^{-1}=-x^2$

Zamjenom varijabli dobijamo jednačine

$w=\frac{1}{y}$

$w^{\prime }=\frac{-y^{\prime }}{y^2}.$

$w^{\prime }+\frac{2}{x}w=x^2$

koje se mogu riješiti korištenjem integracionog faktora

$M(x)=e^{2\int \frac{1}{x}dx}=x^2.$

Množenjem sa $M(x)$, dobijamo

$w^{\prime }{x}^2+2xw=x^4,$

Uočite da je lijeva strana derivacija od $w{x}^2$. Integracijom obe strane dobijamo jednačine

$\int (w{x}^2{)}^{\prime }dx=\int x^{4}dx$

$w{x}^2=\frac{1}{5}{x}^5+C$

$\frac{1}{y}{x}^2=\frac{1}{5}{x}^5+C$

Rješenje za $y$ je

$y=\frac{x^2}{\frac{1}{5}{x}^5+C}$

Vanjski linkovi

• http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=7032
• https://ebooks.cenreader.com/#!/reader/3007ca4c-3ef6-4b48-a8b3-70ff21126fcf/page/3387eee2-5ffb-4d98-84b1-6402424855a5
• https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Bernoulli_equation&oldid=40764
• https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/2/Parker-CMJ-2014.pdf Šablon:Webarchive