Egzaktna diferencijalna jednačina

U matematici, egzaktna diferencijalna jednačina ili jednačina totalnog diferencijala je jedna od vrsta obične diferencijalne jednačine, koja se široko koristi u fizici i inženjerstvu.

Definicija

Za dati jednostavno povezan prostor i otvoren podskup D od skupa R² i dvije funkciju P i Q, koje su neprekidne na D, tada se implicitna diferencijalna jednačina oblika

$P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y=0,$

naziva egzaktna diferencijalna jednačina ako postoji neprekidno diferencijabilna funkcija F, koja se naziva funkcija potencijala, tako a bude

$\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)=P$

and

$\frac{\partial F}{\partial y}(x,y)=Q.$

Nomenklatura "egzaktne diferencijalne jednačine" odnosi se na totalni diferencijal funkcije. Za funkciju $F(x_0,x_1,...,x_{n-1},x_n)$, egzaktni ili totalni diferencijal po $x_0$ je dat kao

$\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}{x}_0}=\frac{\partial F}{\partial x_0}+\sum _{i=1}^n\frac{\partial F}{\partial x_i}\frac{\mathrm{d}{x}_i}{\mathrm{d}{x}_0}.$

Primjeri

Funkcija

$F(x,y)=\frac{1}{2}(x^2+y^2)$

je funkcija potencijala za diferencijalnu jednačinu

$x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }=0.$

Postojanje funkcija potencijala

U fizikalnim primjenama, funkcije P i Q obično nisu samo neprekidne, nego čak i neprekidno diferencijabilne. Schwarzov teorem (poznat i kao Clairautov teorem) nam tada pruža potreban uslov za postojanje funkcije potencijala. Za diferencijalne jednačine definisane na jednostavno povezanim skupovima, uslov je čak i dovoljan, te dobijamo slijedeći teorem:

Za datu diferencijalnu jednačinu oblika

$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,$

gdje su P i Q neprekidno diferencijabilne funkcije na jednostavno povezanom i otvorenom podskupu D od skupa R², tada funkcija potencijala F postoji ako i samo ako je

$\frac{\partial P}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial Q}{\partial x}(x,y).$

Rješenja egzaktnih diferencijalnih jednačina

Za datu diferencijalnu jednačinu definisanu na nekom povezanom i otvorenom podskupu D od skupa R² sa funkcijom potencijala F, tada diferencijabilna funkcija f sa (x, f(x)) u D je rješenje ako i samo ako postoji realan broj c, tako da vrijedi

$F(x,f(x))=c.$

Za problem početne vrijednosti

$y(x_0)=y_0$

možemo lokalno odrediti funkciju potencijala iz

$F(x,y)=\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}I(t,y_0)dt+\underset{y_0}{\overset{y}{\int }}J(x,t)dt.$

Rješavajući

$F(x,y)=c$

po y, gdje je c realan broj, možemo pronaći sva rješenja.

Također pogledajte

• Egzaktni diferencijal
• Totalni diferencijal