Surjektivna funkcija

Surjektivna funkcija. (Međutim, ovo nije injekcija)

Još jedna surjektivna funkcija. (Ova je slučajno bijekcija)

Nesurjektivna funkcija. (Ova je slučajno injekcija)

Surjektivna kompozicija: prva funkcija ne mora biti surjektivna.

Za funkciju $f:X\to Y$ kažemo da je surjektivna ili surjekcija ako je slika funkcije jednaka kodomeni funkcije.

To znači da za svaki član kodomene funkcije postoji barem neki član iz domene funkcije koji se preslikava u njega.

Zapisano simboličkom logikom, $(\mathrm{\forall }y\in Y)(\mathrm{\exists }x\in X)$ takav da $f(x)=y$.

Primjeri

• Za bilo koji skup X, funkcija identiteta id_X na X je surjektivna.
• funkcija f: R → R definisana sa f(x) = 2x + 1 je surjektivna (i čak bijektivna), zato što za svaki realan broj y imamo x takvo da je f(x) = y: odgovarajuće x je (y - 1)/2.
• Funkcija prirodnog logaritma ln: (0,+∞) → R je surjekktivna.
• funkcija f: Z → {0,1,2,3} definisana sa f(x) = x mod 4 je surjektivna.
• funkcija g: R → R definisana sa g(x) = x² nije surjektivna, jer (naprimjer) ne postoji realan broj x takav da vrijedi x² = −1. Međutim funkcija g: R → [0,+∞) definisana sa g(x) = x² (sa ograničenim kodomenomn) je surjektivna.

Ostale osobine

• Ako su f i g surjektivne, tada je f o g surjektivna.
• Ako je f o g surjektivna, tada je f surjektivna (ali g ne mora biti).
• f: X → Y je surjektivna ako i samo ako, za bilo koje zadate funkcije g,h:Y → Z, kad god je g o f = h o f, tada je g = h. Drugim riječima, injektivne funkcije su tačno monomorfizmi u kategoriji skupa skupova.
• Ako je f: X → Y surjektivna i B je podskup od Y, tada je f(f ⁻¹(B)) = B. Zbog toga, B može biti dobijen iz svoje slike 'f ⁻¹(B).

Također pogledajte

• Bijekcija
• Injektivna funkcija