Kroneckerova lema

U matematici, Kroneckerova lema je rezultat odnosa između konvergencije beskonačnih suma i konvergencije redova. Lema se često koristi kao dio dokaza teroma o sumama nezavisnih slučajnih promjenljivih kao što je zakon velikih brojeva. Lema je dobila naziv po njemačkom matematičaru Leopoldu Kroneckeru.

Lema

Ako je $(x_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ beskonačan niz realnih brojeva takav da

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_n=s$

postoji i da je konačna, tada imamo za $0<b_1\le b_2\le b_3\le \dots$ i $b_n\to \mathrm{\infty }$ da vrijedi

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{b_n}\sum _{k=1}^n{b}_k{x}_k=0.$

Dokaz

Neka $S_k$ označava parcijalnu sumu od x'. Koristeći sumiranje po članovima,

$\frac{1}{b_n}\sum _{k=1}^n{b}_k{x}_k=S_n-\frac{1}{b_n}\sum _{k=1}^{n-1}(b_{k+1}-b_k)S_k$

Izabiremo bilo koji broj ε > 0. Zatim biramo N tako da je$S_k$ za ε blizu s za k > N. Ovo se može uraditi kako red $S_k$ konvergira u s. Tada je desna strana jednaka:

$S_n-\frac{1}{b_n}\sum _{k=1}^{N-1}(b_{k+1}-b_k)S_k-\frac{1}{b_n}\sum _{k=N}^{n-1}(b_{k+1}-b_k)S_k=$

$=S_n-\frac{1}{b_n}\sum _{k=1}^{N-1}(b_{k+1}-b_k)S_k-\frac{1}{b_n}\sum _{k=N}^{n-1}(b_{k+1}-b_k)s-\frac{1}{b_n}\sum _{k=N}^{n-1}(b_{k+1}-b_k)(S_k-s)=$

$=S_n-\frac{1}{b_n}\sum _{k=1}^{N-1}(b_{k+1}-b_k)S_k-\frac{b_n-b_N}{b_n}s-\frac{1}{b_n}\sum _{k=N}^{n-1}(b_{k+1}-b_k)(S_k-s)$

Sada, neka n ide u beskonačnost. Prvi član teži u s, koji se poništi sa trećim članom. Drugi član teži u nulu (pošto je suma fiksan broj). Pošto je red b rastući, zadnji član je ograničen sa $ϵ(b_n-b_N)/b_n\le ϵ$.

Vanjski linkovi

• https://www.youtube.com/watch?v=s_4zGZvRQaU