Dinijev test

U matematici, Dinijev i Dini-Lipschitzov test su jako precizni testovi koji mogu dokazati da Fourierov red funkcije konvergira u datoj tački. Ovi testovi su dobili naziv po Ulisseu Diniju i Rudolfu Lipschitzu.

Definicija

Neka f bude funkcija na intervalu [0,2π], neka t bude neka neka tačka, te neka δ bude neki pozitivni broj. Definišemo lokalni modul neprekidnostiu tački t sa

${\omega }_f(\delta ;t)=\underset{|\epsilon |\le \delta }{\max }|f(t)-f(t+\epsilon )|.$

Važno je primjeteti da razmatramo f kao periodičnu funkciju, npr. ako je t = 0 i ε je negativno, tada definišemo funkciju f(ε) = f(2π + ε).

Globalni modul neprekidnosti (ili jednostavnije Modul neprekidnosti) je definisan sa

${\omega }_f(\delta )=\underset{t}{\max }{\omega }_f(\delta ;t)$

Sa ovim definicijama možemo iskazati glavne rezultate

Teorem (Dinijev test): Pretpostavimo da funkcija f, u tački t, zadovoljava

$\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{1}{\delta }{\omega }_f(\delta ;t)d\delta <\mathrm{\infty }.$

Tada Fourierov red funkcije f konvergira u t do f(t).

Na primjer, teorem se slaže sa izrazom ${\omega }_f={\log }^{-2}({\delta }^{-1})$, ali se ne slaže sa izrazom ${\log }^{-1}({\delta }^{-1})$.

Teorem (Dini-Lipschitzov test): Pretpostavimo da funkcija f zadovoljava

${\omega }_f(\delta )=o{(\log \frac{1}{\delta })}^{-1}.$

Tada Fourierov red funkcije f konvergira uniformno u f.

Generalno, svaka funkcija, koja zadovoljava Hölderov uslov, zadovoljava Dini-Lipschitzov test.

Preciznost

Oba testa su najbolji u svojoj klasi. Što se tiče Dini-Lipschitzovog testa, moguće je konstruisati funkciju f sa modulom neprekidnosti, koji zadovoljava test za O umjesto za o, npr.

${\omega }_f(\delta )=O{(\log \frac{1}{\delta })}^{-1}.$

gdje Fourierov red od f divergira.

Što se tiče Dinijevog testa, iskaz preciznosti je nešto duži: Iskaz kaže da za svaku funkciju Ω takvu da vrijedi

$\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{1}{\delta }\mathrm{\Omega }(\delta )d\delta =\mathrm{\infty }$

postoji funkcija f takva da vrijedi

${\omega }_f(\delta ;0)<\mathrm{\Omega }(\delta )$

gdje Fourierov red od f divergira u 0.

Također pogledajte

• Konvergencija Fourierovog reda.