Cauchyjev test kondenzacije

Šablon:Nedostaju izvori Šablon:Infinitezimalni račun U matematici, Cauchyjev test kondenzacije je standarni test konvergencije za beskonačne redove. Za pozitivni, monotono opadajući niz f(n), suma

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}f(n)$

konvergira ako i samo ako suma

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^{n}f(2^n)$

konvergira. Staviše, u tom slučaju imamo

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}f(n)<\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^{n}f(2^n)<2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}f(n).$

Geometrijsko značenje je to da se aproksimira suma sa trapezoidima kod svakog $2^n$. Drugo objašnjenje je da je, sa analogijom između konačnih suma i integrala, "kondenzacija" članova analogna sa substitucijom teksponencijalne funkcije. Ovo postaje jasnije u primjeru kao što je

$f(n)=n^{-a}(\log n{)}^{-b}(\log \log n{)}^{-c},$.

Ovdje red definitivno konvergira za a > 1, a divergira za a < 1. Kada je a = 1, kondenzaciona trnsformacija daje red

$\sum n^{-b}(\log n{)}^{-c}$

Logaritmi se "pomijeraju u lijevo". Tako, kada imamo da je a = 1, imamo da red konergira za b > 1, a za b < 1 red divergira. Kada jeb = 1, isto važi za vrijednost c.

Vanjski linkovi

• Dokaz Cauchyjevog testa kondenzacije