Cauchyjev test konvergencije

Šablon:Nedostaju izvori Cauchyjhev test konvergencije je metoda koja se koristi za testiranja konvergencije beskonačnih redova. Red

$\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_i$

je konvergentan ako i samo ako za svaki $\epsilon >0$ postoji broj N$\in \mathbb{N}$ takav da

$|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}|<\epsilon$

važi za sve n > N i $p\ge 1$.

Test funkcionira pošto je red konvergentan ako i samo ako je parcijalna suma

$s_n:=\sum _{i=0}^n{a}_i$

Cauchyjev niz: za svako $\epsilon >0$ postoji broj N, takav da za sve n, m > N važi

$|s_m-s_n|<\epsilon .$

Možemo pretpostaviti da vrijedi m > n, te zbog toga vrijedi p = m - n. Red je konvergentan ako i samo ako vrijedi

$|s_{n+p}-s_n|=|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}|<\epsilon .$

Također pogledajte

• Red (matematika)
• Konvergentni red