Gram–Schmidtov postupak

Šablon:Nedostaju izvori Šablon:Siroče Gram–Schmidtov postupak metoda je u linearnoj algebri koja služi za ortogonalizaciju skupa vektora u zadanom euklidskom prostoru.

Postupak je sljedeći: uzmimo vektorski prostor proizvoljne dimenzije Rⁿ baze {v₁, v₂, ... ,v_n}, Gram–Schmidtovim postupkom ortogonalizacije možemo transformirati bazu {v_i} u ortonormiranu bazu, {u_i}. Prvo normaliziramo v₁: u₁=v₁/||v₁||.

Nakon toga izračunavamo:w₂=v₂-<v₂,u₁>u₁, pa normaliziramo w₂: u₂=w₂/||w₂||

Ovaj postupak primijenimo za sve vektore iz baze {v_i}: w_i+1=v_i+1-<v_i+1,u_iui>- ... - <v_i+1,u₁>u₁ i u_i+1=w_i+1/||w_i+1||. Vektori {u₁, ... ,v_n} linearno su nezavisni i stoga čine bazu vektorskog prostora Rⁿ.

Primjer

Uzmimo sljedeći skup vektora u Rⁿ (s uobičajenim skalarnim proizvodom)

$S=\{{𝐯}_1=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right),{𝐯}_2=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)\}.$

Sada primijenimo Gram–Schmidtov postupak kako bismo dobili ortogonalni skup vektora:

${𝐮}_1={𝐯}_1=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)$

${𝐮}_2={𝐯}_2-{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}}_{{𝐮}_1}{𝐯}_2=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)-{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}}_{(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1})}\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2/5\\ 6/5\end{array}\right).$

Provjerimo vektore u₁ i u₂ kako bismo utvrdili da su zaista ortogonalni:

$⟨{𝐮}_1,{𝐮}_2⟩=⟨\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-2/5\\ 6/5\end{array}\right)⟩=-\frac{6}{5}+\frac{6}{5}=0.$

Sada ih možemo normalizirati tako što ćemo ih podijeliti njihovim dužinama:

Prvi koraci Gram–Schmidtovog postupka

${𝐞}_1=\frac{1}{\sqrt{10}}\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)$

${𝐞}_2=\frac{1}{\sqrt{\frac{40}{25}}}\left(\begin{array}{c}-2/5\\ 6/5\end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt{10}}\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\end{array}\right).$