Parcijalna integracija

Šablon:Nedostaju izvori Šablon:Kalkulus U kalkulusu, i generalno, u matematičkoj analizi, parcijalna integracija je pravilo koji transformiše integrale proizvoda funkcija je druge, vjerovatno jednostavnije integrale. Do ovog pravila dolazimo preko diferencijacije pravila derivacije proizvoda.

Pravilo

Pretpostavimo da su f(x) i g(x) dvije više puta diferencijabilne funkcije. Tada pravilo parcijalne integracije kaže da kada imamo intervale sa krajnjim tačkama a i b, dobijamo $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g^{\prime }(x)dx={[f(x)g(x)]}_a^b-\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{\prime }(x)g(x)dx$ gdje koristimo standardne oznake

${[f(x)g(x)]}_a^b=f(b)g(b)-f(a)g(a).$

Pravilo se dokazuje pravilom derivacije proizvoda i fundamentalnom teoremom kalkulusa. Zbog toga je

$f(b)g(b)-f(a)g(a)$	$=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{d}{dx}(f(x)g(x))dx$
	$=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{\prime }(x)g(x)dx+\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g^{\prime }(x)dx.$

U tradicionalnom kalkulusu, ovo pravilo se koristi kod neodređenog integrala u formi

$\int f(x)g^{\prime }(x)dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime }(x)g(x)dx,$

ili u kraćoj formi, ako napišemo u = f(x), v = g(x) i diferencijali du = f′(x) dx i dv = g′(x) dx. Tada je u formi u kojoj je najčešće susrećemo:

$\int udv=uv-\int vdu.$

Primjeri

Kako bi izračunali

$\int x\cos (x)dx$

napišemo:

u = x, tako da je du = dx,

dv = cos(x) dx, tako da je v = sin(x).

Zatim:

$\begin{array}{cc}\int x\cos (x)dx& =\int udv\\ & =uv-\int vdu\\ & =x\sin (x)-\int \sin (x)dx\\ & =x\sin (x)+\cos (x)+C\end{array}$

gdje je C arbitražna konstanta integracije.

Ako iznova koristimo parcijalnu integraciju, integrali kao što su

$\int x^3\sin (x)dx\text{ili}\int x^2{e}^{x}dx$

mogu se izračunati veoma lagano: ponavljanje ovog postupka smanjuje potenciju x za jedan.

Interesantan primjer je sljedeći:

$\int e^x\cos (x)dx$

gdje se, na kraju, ne mora primjenjivati stvarna integracija.

Kod ovog primjere, parcijalna integracija se primjeni dva puta. Kao prvo, napišimo:

u = cos(x); tako da je du = -sin(x)dx

dv = e^xdx; tako da je v = e^x

Zatim:

$\int e^x\cos (x)dx=e^x\cos (x)+\int e^x\sin (x)dx$

Sada, kako bi izračunali integral koji nam je ostao, ponovo koristimo parcijalnu integraciju, sa:

u = sin(x); du = cos(x)dx

v = e^x; dv = e^xdx

Zatim:

$\int e^x\sin (x)dx$

$=e^x\sin (x)-\int e^x\cos (x)dx$

Sklopivši sve to zajedno, dobijamo

$\int e^x\cos (x)dx=e^x\cos (x)+e^x\sin (x)-\int e^x\cos (x)dx$

Primijetimo da se isti integral pojavljuje na obje strane jednačine. Prebacimo sve na jednu stranu i dobijamo:

$2\int e^x\cos (x)dx=e^x(\sin (x)+\cos (x))$

$\int e^x\cos (x)dx=\frac{e^x(\sin (x)+\cos (x))}{2}$

Još dva dobro poznata primjera primjene parcijalne integracije je kada je funkcija izražena kao proizvod 1 i same sebe.

Prvi primjer je ∫ ln(x) dx. Ovo pišemo kao:

$\int \ln (x)\cdot 1dx$

Napišimo:

u = ln(x); du = 1/x dx

v = x; dv = 1·dx

Zatim:

$\int \ln (x)dx$	$=x\ln (x)-\int \frac{x}{x}dx$
	$=x\ln (x)-\int 1dx$

$\int \ln (x)dx=x\ln (x)-x+C$

$\int \ln (x)dx=x(\ln (x)-1)+C$

gdje je, ponovo, C arbitražna konstanta integracije

Drugi primjer je ∫ arctan(x) dx, gdje je arctan(x) inverzna tangensna funkcija. Ovo ponovo napišemo kao:

$\int \arctan (x)\cdot 1dx$

Napišimo:

u = arctan(x); du = 1/(1+x²) dx

v = x; dv = 1·dx

Zatim:

$\int \arctan (x)dx$	$=x\arctan (x)-\int \frac{x}{1+x^2}dx$
	$=x\arctan (x)-\frac{1}{2}\ln (1+x^2)+C$

koristeći kombinaciju pravilo inverzne derivacije složene funkcije i uslov integriranja prirodnog logaritma.

Kulturološke reference

• Metoda tabularne parcijalne integracije pojavila se u filmu Stand and Deliver iz 1988. godine.

Vanjski linkovi

• Parcijalna integracija - sa MathWorld
• Tabularna parcijalna integracija
• Demonstrirana tabularna parcijalna integracija