Pravilo derivacije količnika

Šablon:Nedostaju izvori Šablon:Kalkulus U kalkulusu, pravilo derivacije količnika je metoda izračunavanja derivacije funkcije koja je prikazana kao količnik druge dvije funkcije za koje derivaicja postoji.

Ako je funckija $f(x)$ ta koju deriviramo, može se pisati kao:

$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$

gdje je $h(x)$ ≠ $0$, tada je derivacija fnkcije $g(x)/h(x)$ jednaka:

$\frac{d}{dx}f(x)=f^{\prime }(x)=\frac{g^{\prime }(x)h(x)-g(x)h^{\prime }(x)}{{h(x)}^2}.$

Ili, prezicnije, za svako $x$ u nekom otvorenom intervalu, a koje sadrži $a$, uz $h(a)$ ≠ $0$; i da postoje i $g^{\prime }(a)$ i $h^{\prime }(a)$; tada, $f^{\prime }(a)$ također postoji:

$f^{\prime }(a)=\frac{g^{\prime }(a)h(a)-g(a)h^{\prime }(a)}{h(a{)}^2}.$

Primjeri

Derivacija od $(4x-2)/(x^2+1)$ je:

$\frac{d}{dx}\frac{(4x-2)}{x^2+1}$	$=\frac{(x^2+1)(4)-(4x-2)(2x)}{(x^2+1{)}^2}$
	$=\frac{(4x^2+4)-(8x^2-4x)}{(x^2+1{)}^2}$
	$=\frac{-4x^2+4x+4}{(x^2+1{)}^2}$

U gornjem primjeru, odabrali smo

$g(x)=4x-2$

$h(x)=x^2+1$

Analogijski, derivacija $\sin (x)/x^2$ (kada je $x$ ≠ 0) je:

$\frac{\cos (x)x^2-\sin (x)2x}{x^4}$

Za više informacija o derivacijama trigonometrijskih funkcija, pogledajte: Derivacija funkcije.

Drugi primjer je:

$f(x)=\frac{2x^2}{x^3}$

gdje imamo $g(x)=2x^2$ i $h(x)=x^3$, te $g^{\prime }(x)=4x$ i $h^{\prime }(x)=3x^2$.

Derivacija $f(x)$ se računa na sljedeći način:

$f^{\prime }(x)$	$=\frac{(4x\cdot x^3)-(2x^2\cdot 3x^2)}{{\left(x^3\right)}^2}$
	$=\frac{4x^4-6x^4}{x^6}$
	$=\frac{-2x^4}{x^6}$
	$=-\frac{2}{x^2}$

Dokaz

Pretpostavimo funkciju $f(x)=g(x)/h(x)$

gdje je $h(x)$≠ 0 i gdje su funkcije $g$ i $h$ diferencijabilne.

$f^{\prime }(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\frac{g(x+\mathrm{\Delta }x)}{h(x+\mathrm{\Delta }x)}-\frac{g(x)}{h(x)}}{\mathrm{\Delta }x}$

$=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{1}{\mathrm{\Delta }x}\left(\frac{g(x+\mathrm{\Delta }x)h(x)-g(x)h(x+\mathrm{\Delta }x)}{h(x)h(x+\mathrm{\Delta }x)}\right)$

$=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{1}{\mathrm{\Delta }x}\left(\frac{(g(x+\mathrm{\Delta }x)h(x)-g(x)h(x))-(g(x)h(x+\mathrm{\Delta }x)-g(x)h(x))}{h(x)h(x+\mathrm{\Delta }x)}\right)$

$=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{1}{\mathrm{\Delta }x}\left(\frac{h(x)(g(x+\mathrm{\Delta }x)-g(x))-g(x)(h(x+\mathrm{\Delta }x)-h(x))}{h(x)h(x+\mathrm{\Delta }x)}\right)$

$=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\frac{g(x+\mathrm{\Delta }x)-g(x)}{\mathrm{\Delta }x}h(x)-g(x)\frac{h(x+\mathrm{\Delta }x)-h(x)}{\mathrm{\Delta }x}}{h(x)h(x+\mathrm{\Delta }x)}$

$=\frac{\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\left(\frac{g(x+\mathrm{\Delta }x)-g(x)}{\mathrm{\Delta }x}\right)h(x)-g(x)\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\left(\frac{h(x+\mathrm{\Delta }x)-h(x)}{\mathrm{\Delta }x}\right)}{h(x)h(\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }(x+\mathrm{\Delta }x))}$

$=\frac{g^{\prime }(x)h(x)-g(x)h^{\prime }(x)}{[h(x){]}^2}$

Također pogledajte

• Pravilo derivacije proizvoda
• Pravilo derivacije složene funkcije