Sekans i kosekans

Definicije na jediničnoj kružnici

Sekans i kosekans su trigonometrijske funkcije. Sekans se obilježava kao $\sec (x)$, a kosekans kao $\csc (x)$ ili $\mathrm{cosec}(x)$. Funkcije su dobile ime(na) po njihovoj definiciji iz jediničnog kruga. Vrijednosti funkcije odgovaraju dužinama dijelova sekansa:

$\overline{OT}=\sec (b)\overline{OK}=\csc (b)$

Ein rechtwinkliges Dreieck

U pravougaonom trouglu, sekans je odnos hipotenuze prema susjednoj kateti.

Kosekans je omjer hipotenuze prema suprotnoj kateti:

$\sec (\alpha )=\frac{l_{\mathrm{H}\mathrm{y}}}{l_{\mathrm{A}\mathrm{K}}}=\frac{c}{b}\csc (\alpha )=\frac{l_{\mathrm{H}\mathrm{y}}}{l_{\mathrm{G}\mathrm{K}}}=\frac{c}{a}$

Karakteristike

Grafici

Grafik funkcije sekans

Grafik funkcije kosekans

Definiciono područje

Sekans:	$-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty };x\ne (n+\frac{1}{2})\cdot \pi ;n\in \mathbb{Z}$
Kosekans:	$-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty };x\ne n\cdot \pi ;n\in \mathbb{Z}$

Područje vrijednosti

$-\mathrm{\infty }<f(x)\le -1;1\le f(x)<+\mathrm{\infty }$

Periodičnost

Dužina perioda $2\cdot \pi :f(x+2\pi )=f(x)$

Simetrija

Sekans:	Osa simetrije: $f(x)=f(-x)$
Kosekans:	Tačka simetrije: $f(-x)=-f(x)$

Pol

Sekans:	$x=(n+\frac{1}{2})\cdot \pi ;n\in \mathbb{Z}$
Kosekans:	$x=n\cdot \pi ;n\in \mathbb{Z}$

Ekstremi

Sekans:	Minimum:	$x=2n\cdot \pi ;n\in \mathbb{Z}$	Maksimum:	$x=(2n-1)\cdot \pi ;n\in \mathbb{Z}$
Kosekans:	Minimum:	$x=(2n+\frac{1}{2})\cdot \pi ;n\in \mathbb{Z}$	Maksimum:	$x=(2n-\frac{1}{2})\cdot \pi ;n\in \mathbb{Z}$

Nule

Nijedna funkcija nema nula.

Asimptote

Nijedna funkcija nema horizontalnih asimptota.

Prekidi

Nijedna funkcija nema prekida.

Prevojne tačke

Nijedna funkcija nema prevojnih tačaka.

Inverzne funkcije

Sekans:

U pola perioda dužine, npr. $x\in [0,\pi ]$ je reverzibilna funkcija (arkussekans):

Kosekans

U pola perioda dužine, npr. $x\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ je reverzibilna funkcija (arkuskosekans):

Proširene serije

Sekans:

$\sec (x)=4\pi \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k(2k+1)}{(2k+1{)}^2{\pi }^2-4x^2}$

Kosekans:

$\csc (x)=\frac{1}{x}-2x\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{k^2{\pi }^2-x^2}=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k}x}{x^2-k^2{\pi }^2}$

Izvod (derivacija)

Sekans:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sec (x)=\sec (x)\cdot \tan (x)=\frac{{\sec }^2(x)}{\csc (x)}$

Kosekans

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\csc (x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{1}{\sin (x)}=-\csc (x)\cdot \cot (x)=-\frac{{\csc }^2(x)}{\sec (x)}=-\frac{\cos (x)}{{\sin }^2(x)}$

Integral

Sekans:

$\int \sec (x)\mathrm{d}x=\ln \left|\frac{1+\sin (x)}{\cos (x)}\right|=\ln |\sec (x)+\tan (x)|$

Kosekans

$\int \csc (x)\mathrm{d}x=\ln \left|\frac{\sin (x)}{1+\cos (x)}\right|=\ln |\tan \left(\frac{x}{2}\right)|$

Kompleksni argumenti

$\sec (x+\mathrm{i}\cdot y)=\frac{2\cos (x)\cosh (y)}{\cos (2x)+\cosh (2y)}+\mathrm{i}\frac{2\sin (x)\sinh (y)}{\cos (2x)+\cosh (2y)}$   sa $x,y\in ℝ$

$\csc (x+\mathrm{i}\cdot y)=\frac{-2\sin (x)\cosh (y)}{\cos (2x)-\cosh (2y)}+\mathrm{i}\frac{2\cos (x)\sinh (y)}{\cos (2x)-\cosh (2y)}$   sa $x,y\in ℝ$

Također pogledajte

• Trigonometrijske funkcije

Vanjski linkovi

• Eric W. Weisstein: Sekans i kosekans na MathWorld