Sinusna teorema

Sinusna teorema

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=2R,$ gdje su $a,b,c$ stranice naspram uglova $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ u trouglu $ABC,$ a $R$ poluprečnik opisanog kruga.

U sfernoj geometriji koristi se

$\frac{\sin a}{\sin A}=\frac{\sin b}{\sin B}=\frac{\sin c}{\sin C}.$

Dokaz

• 

Oko trougla ABC opisana je kružnica poluprečnika R, na slici desno.$C{A}^{\prime }=2R$ je prečnik. Periferni uglovi nad istom tetivom $BC=a$ jednaki, tj. $\alpha =\mathrm{\angle }BAC=\mathrm{\angle }B{A}^{\prime }C,$ i periferni ugao $\mathrm{\angle }CB{A}^{\prime }$ nad prečnikom CA' je prav. U pravouglom trouglu A'BC imamo $\sin \alpha =\frac{a}{2R},$ odnosno $\frac{a}{\sin \alpha }=2R.$

Slično dobijamo za uglove $\beta ,\gamma$

Teorema

Simetrala unutrašnjeg ugla trougla dijeli suprotnu stranicu proporcionalne dijelove naleglim stranicama .

Simetrala dijeli ugao S na dva jednaka dijela

$\mathrm{\angle }ACD=\mathrm{\angle }DCB=\varphi ,(\mathrm{\angle }C=\gamma =2\varphi ).$

Sinusi suplementnih uglova (koji se dopunjavaju do 180°) su jednaki i prema sinusnoj teoremi za trouglove ACD i DBC dobijamo:

$AD:AC=\sin \varphi :\sin \theta ,DB:CB=\sin \varphi :\sin \theta .$ Otuda je $AD:AC=DB:CB,$

Površina trougla

$P=\frac{1}{2}b(c\sin \gamma )=\frac{1}{2}c(a\sin \beta )=\frac{1}{2}a(b\sin \gamma ).$

$\frac{2P}{abc}=\frac{\sin \alpha }{a}=\frac{\sin \beta }{b}=\frac{\sin \gamma }{c}.$

Primjeri

Sinusna teorema se primjenjuje:

1. Kada su data dva ugla i jedna stranica
2. Kada se date dvije stranice i ugao naspram jedne od tih stranica

Primjer 1

Neka su date stranice trougla $a=20$, i $c=24$, i ugao $\gamma =40^{\circ }$.

$\frac{\sin \alpha }{20}=\frac{\sin 40^{\circ }}{24}.$

$\alpha =\arcsin \left(\frac{20\sin 40^{\circ }}{24}\right)\approx 32.39^{\circ }.$

Primjer 2

U $\mathrm{\Delta }ABC,BC=7,\mathrm{\angle }A=41^{\circ },\mathrm{\angle }B=62^{\circ }.$ Naći dužinu stranice AC.

Rešenje:

$\frac{7}{\sin 41^{\circ }}=\frac{b}{\sin 62^{\circ }}\Rightarrow b=\frac{7\sin 62^{\circ }}{\sin 41^{\circ }}=9,4208....$

Prema tome

$AC=9,42$.

Primjer 3

U trouglu ABC zadano je $AC=15,\mathrm{\angle }A=107^{\circ },\mathrm{\angle }B=32^{\circ }$ naći AB.

Rešenje:

Iz $\mathrm{\angle }A+\mathrm{\angle }B+\mathrm{\angle }C=180^{\circ },$ proizlazi $\mathrm{\angle }C=41^{\circ }.$

Zatim, iz sinusne teoreme

$\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C},$ tj.

$\frac{15}{\sin 32^{\circ }}=\frac{c}{\sin 41^{\circ }},$ dobijamo $c=\frac{15\cdot \sin 41^{\circ }}{\sin 32^{\circ }}=18,5705....$

Prema tome, stranica AB = 18,57.

Odnos prema kružnici

Iz identiteta

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C},$

Također pogledajte

• Tangensni teorem

Vanjski linkovi

• Sine theorem
• Sine, Cosine, and Ptolemy's Theorem
• Degree of Curvature
• Finding the Sine of 1 Degree
• Generalized Law of Sines
• Law of Sines